| 研究課題/領域番号 |
19K03466
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 曲面結び目 / ２次元結び目 / ３重点数 / ブランチ点 / 射影図 |
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| 研究実績の概要 |
４次元ユークリッド空間に滑らかに埋め込まれた閉曲面を曲面結び目といい、特に球面の埋め込みを２次元結び目という。また、曲面結び目を３次元ユークリッド空間に射影した像で、その自己交差集合に４次元における上下の交差情報を与えたものを、曲面結び目の射影図という。射影図は離散的な３重点とブランチ点を持ち、特にすべての射影図にわたる３重点の個数の最小値を曲面結び目の３重点数という。３重点数を用いて曲面結び目（特に２次元結び目）を分類することは、曲面結び目理論における基本的課題である。
前年度までの研究において、３重点数が４以下である２次元結び目の決定を行ったが、その際に曲面結び目の射影図の自己交差集合の重要性を認識するに至った。そこで本年度は、自己交差集合に着目して、それが２次元結び目の自己交差集合である場合に満たす性質について研究を行った。これまでの研究で、２次元結び目の最小射影図（３重点数を実現する射影図）において、２つのブランチ点をつなぐ２重点線分上に３重点がちょうどひとつ存在することはないことがわかっていた。２次元結び目の切断面に現れる絡み目のプロパー性やこれまでに開発した手法を用いることで、この結果を次のように一般化できることがわかる：２次元結び目の射影図の2つのブランチ点をつなぐ単純２重点線分に対し、それがミドルシートと横断的に交わる３重点の個数は偶数である。
３重点数を用いて２次元結び目を分類するためには、自己交差集合となりうるグラフの候補のリストを作成することが重要である。上記の結果を用いることで、射影図がブランチ点を持つ場合に、多くの候補を除外できることが期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２次元結び目を３重点数を基準にして分類するためには、与えられた個数の３重点をもつ自己交差集合に着目して、そのグラフをリストアップすることが必要である。そのために、正の種数をもつ曲面結び目では一般に成り立たないような、２次元結び目の場合に特有な性質をを利用することができる。
本年度の研究では、射影図が特にブランチ点を持つ場合に、２つのブランチ点をつなぐ単純２重点線分上の３重点を調べ、２重点線分がミドルシートと横断的に交わるような３重点が偶数個あるなど、その性質を明らかにすることができた。この結果は、２重点線分がちょうど１個の３重点数を通過するならば、その３重点は消去することができることを意味している。
本年度、および昨年度までの研究により、２次元結び目特有のさまざまな性質を明らかにすることができ、自己交差集合の特徴付けに関する研究を大きく進展させることができたといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により、２つのブランチ点をつなぐ単純２重点線分上に、ある種の３重点が必ず偶数個存在することがわかった。この結果が単純とは限らない２重点線分に対しても拡張できるかどうかを調べるために、２次元結び目の射影図を３次元ユークリッド空間の中のトーラスで切断したときに現れる断面の絡み目が持つ性質について研究を進めていきたい。その性質を明らかにすることで、正則とは限らない射影図における２重点円周に対しても、その特徴付けを与えることが期待できる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍のため、当初計画していた出張や研究打ち合わせを予定通りに遂行することができなかった。コロナ禍がおさまってきたので、次年度は出張などを行いたいと考えている。
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