交代結び目の体積予想

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03470
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 東京都立大学
• 研究代表者: 横田 佳之 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (40240197)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 交代結び目 / ジョーンズ多項式 / 体積予想

研究成果の概要

結び目の体積予想とは、結び目の色つきジョーンズ多項式の極限に、結び目補空間の単体的体積等が現れるという予想であり、ジョーンズ多項式に代表される量子不変量の幾何的背景の謎に迫る、重要な意味を持ちます。
この研究では、結び目の補空間の理想四面体分割を用いた結び目群の放物型表現の構成と四面体の退化パターンの分類、ポテンシャル関数のヘッセ行列式とノイマン・ザギエ行列との関係、理想四面体分割の角度空間上の、新しい実ポテンシャル関数の構成等の成果を得ましたが、予想の解決には至っていません。

自由記述の分野

位相幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

ジョーンズ多項式の発見以降、物理学を巻き込む形で、結び目・３次元多様体に対して導入され た様々な量子不変量は、ドリンフェルド・神保等による量子群の理論に立脚した極めて代数的なものであり、量子不変量の幾何学的な定式化の欠如は、過去４０年、研究者を悩ませてきたと同時に、量子不変量の本格的な幾何学への応用を妨げてきました。この問題に対する突破口になると期待されているのが結び目の体積予想であり、その研究は、すでに多くの副産物を産み出しています。今回の成果も、体積予想の証明だけでなく、結び目の半順序や、角度空間上の勾配流の研究等につながると期待しています。