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2022 年度 実施状況報告書

非正曲率空間の粗幾何学の新展開

研究課題

研究課題/領域番号 19K03471
研究機関東京都立大学

研究代表者

深谷 友宏  東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (40583456)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2024-03-31
キーワード粗凸空間 / 粗Baum-Connes予想 / Busemann空間
研究実績の概要

尾國新一氏(愛媛大学)との共同研究で,単連結完備非正曲率リーマン多様体の粗幾何学における類似物として,粗凸空間を導入した.粗凸空間の境界を構成し,それを用いて粗幾何学版のCartan-Hadamardの定理を証明した.その系として,粗凸空間に対する粗Baum-Connes予想が成立することを示した.
最近のOsajda等による研究により,粗凸空間に幾何学的に作用するための組み合わせ論的な条件が得られた.これにより粗凸空間に作用する群の例が豊富に得られている.特にHaettel-Hoda-Petytの結果により,写像類群も粗凸空間に幾何学的に作用することが分かった.

これにより,当初の想定を遥かに超える様々な群が粗凸空間に作用することが従う.これは粗凸空間という概念の有用性を表していると言える.そこで,粗凸空間の構造定理を目標とする研究を始めた.2021--2022年度は特別な場合としてBusemann空間の構造について研究し,位相的分解定理を得た.これは、Busemann空間内の並行な測地線の族のなす部分空間が、ある別のBusemann空間と直線の直積に同相であることを主張する定理である.

またこれとは別に大学院生と共同で,距離空間の自由積を構成した.これは以前から知られている構成を含む,より一般的なものである.そして二つの測地的粗凸空間の自由積が粗凸空間になることを示した.これにより,粗Baum-Connes予想が成立する新しい空間の例が得られた.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

距離空間の自由積を用いて,粗Baum-Connes予想が成立する空間の例を組織的に生み出す新しい構成方法が得られている.

今後の研究の推進方策

粗凸空間が粗Baum-Connes予想を満たすことは既に証明されている.しかしその他の距離空間の幾何学及び幾何学的群論の観点からの研究は,やるべきことが多く残されている.そのために共同研究者や指導している大学院生とも協力しながら,複数の課題を同時に推進していく.

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルス蔓延の影響により、参加する予定であった複数の国際研究集会が中止になったため。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2022 その他

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Coarse compactifications and controlled products2022

    • 著者名/発表者名
      Fukaya Tomohiro、Oguni Shin-ichi、Yamauchi Takamitsu
    • 雑誌名

      Journal of Topology and Analysis

      巻: 14 ページ: 875~900

    • DOI

      10.1142/S1793525321500102

    • 査読あり
  • [学会発表] Busemann空間の位相的分解2022

    • 著者名/発表者名
      深谷友宏
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会・幾何学分科会
  • [学会発表] Visual maps between coarsely convex spaces2022

    • 著者名/発表者名
      深谷友宏
    • 学会等名
      集合論的および幾何学的トポロジーと関連分野への応用
  • [備考]

    • URL

      https://www.comp.tmu.ac.jp/tomohirofukaya/index.shtml

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公開日: 2023-12-25  

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