| 研究課題/領域番号 |
19K03473
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| 研究機関 | 大阪公立大学 |
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研究代表者 |
入江 幸右衛門 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 客員研究員 (40151691)
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| 研究分担者 |
岸本 大祐 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60402765)
山口 睦 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (80182426)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 多様体の三角形分割 / Golod 性 / tight 性 / モーメントアングル複体 / Massey 積 |
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| 研究実績の概要 |
私たちは、この10年間ほど単体複体の Golod 性という代数的な性質を、組み合わせ論的に記述することを目的に研究を行ってきた。しかし、研究を続けている間に研究対象が思っている以上に複雑で、単体複体に条件を付けずに一般的な結論を出すことは不可能だと分かってきた。そこで、本研究では、単体複体として多様体の三角形分割に制限し、多様体の三角形分割が Golod 性を持つ組み合わせ論的な特徴付けを与えることにした。多様体の三角形分割に関しては、微分幾何の観点からその tight 性の研究が長らく行われていて、その研究結果から Golod 性と tight 性の類似性が強く示唆されていた。２０２１年度までの研究で、３次元多様体の三角形分割に関しては、Golod 性と tight 性が同値であることを証明することができた。そして、２０２２年度において、一般次元の多様体の三角形分割に関して、両者の概念が同値であることを証明することができた。
以上の結果から、本研究課題の当初の目的を達成することができたが、その証明方法が当初の想定とは異なっていた。３次元多様体の三角形分割 K に関して、Golod 性と tight 性の同値を証明するために、単体複体 K から構成されるモーメントアングル複体 Z(K) を介在させ、３条件（１） K が Golod 性を持つ、（２）K が tight 性を持つ、（３）Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持つ、がすべて同値であることを示すことによって、Golod 性と tight 性の同値性を証明した。しかし、一般次元の多様体の三角形分割については、Golod 性と tight 性の同値性を Z(K) を介在させずに証明でき、（３）の問題点については未解決のままである。最終年度の置いては、この問題の解決を行う。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
【研究実績の概要】で記したように、２０２２年度の研究において、多様体の三角形分割について、その Golod 性と tight 性が同値であることを証明することができた。この結果は、当研究課題の最終目的であったものであり、研究目的は達成されたと考えている。しかし、その証明方法は私たちが当初想定していた証明方法と違ったものであった。私たちは単体複体 K から構成されるモーメントアングル複体 Z(K) のホモトピー型をこの１０年間ほど研究を続けており、特に、K の Golod 性と Z(K) が懸垂空間のホモトピー型をもつ条件の関係に興味を持ってきた。３次元多様体の三角形分割に関しては、３条件（１） K が Golod 性を持つ、（２）K が tight 性を持つ、（３）Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持つ、がすべて同値であることを示すことができたが、２０２２年度に与えた多様体の三角形分割について、その Golod 性と tight 性が同値であることの証明では、上記の条件の（１）と（２）の同値性を直接証明し、条件（３）に関しては何も分かっていない状況である。
以上のように、２０２２年度までの研究で当初の研究目的を達成することができたので、研究は順調に進展していると判断した。しかしながら、多様体の三角形分割 K が Golod 性を持つとき、Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持つかどうかは全く分かっていない。この点において、研究結果は不十分なものと判断して、当初の研究計画以上に進展しているとは判断しなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
多様体の三角形分割 K に関して、次の３条件を考える。（１） K が Golod 性を持つ、（２）K が tight 性を持つ、（３）Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持つ。２０２２年度までの研究で分かったことは、条件（１）と（２）の同値性である。一方、条件（３）から条件（１）が導かれることは、良く分かっている事実である。従って、今後取り組まなければいけない課題は、条件（１）から条件（３）が導かれるかどうかを解決することである。この問題は、３次元多様体の三角形分割に関しては肯定的に解決されているが、その証明は３次元多様体の tight な三角形分割の特徴づけを与える先行研究に大きく依存しており、４次元以上ではそのような研究成果は得られていない。よって、４次元以上では状況が大きく異なる。
そこで、これまでの研究で知られている多様体の tight な三角形分割 K のモーメントアングル複体 Z(K) について、それが懸垂空間と同じホモトピー型を持つかどうかを調べることが、まず初めに取り組まなければならないことである。もし、K が tight なのに、Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持たないものが見つかれば、これで一応の問題の解決を見る。ただ、その時はその時で、K の tight 性にどのような付加条件を与えれば、K のモーメントアングル複体 Z(K) が懸垂空間のホモトピー型を持つのかという新しい問題も発生する。
以上のように、本研究課題の最終年度である本年度においては、多様体の tight な三角形分割のモーメントアングル複体のホモトピー型の研究を中心に据え、周辺分野の研究も併せて実施する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
２０２２年度は引き続きコロナ禍の影響が残り、オンラインのみで実施される研究集会等が多く、対面での研究集会に参加する機会が少なかった。また、家族のコロナ感染のため濃厚接触者に該当し、参加を予定してる研究集会に参加できないこともあった。
次年度はコロナ感染症も第５類に引き下げられ、対面での研究集会が活発に開催されると思われるので、積極的に研究成果の発表や研究情報の収集を行いたい。
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