| 研究課題/領域番号 |
19K03474
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
服部 広大 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (30586087)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 調和写像 / 特殊なホロノミー群 / キャリブレーション / 写像のエネルギー |
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| 研究実績の概要 |
2022年度は、リーマン多様体の間の写像に対して定義される種々のエネルギーに対して、それを最小化する写像のクラスを新たに定義した。HarveyとLawsonは1989年に、カラビ・ヤウ多様体、G2多様体、Spin(7)多様体において、ホモロジー類の中で体積を最小化する部分多様体のクラスを導入し、それらを一般的な状況でキャリブレートされた部分多様体と名付けた。研究代表者は、彼らの概念を滑らかな写像に対して拡張することを試みて、「キャリブレートされた写像」という概念を新たに定式化した。まず向き付け可能な多様体Xと多様体Yを用意し、さらにX上のエネルギー密度σが与えられている状況を考える。これらの直積多様体上の閉微分形式φに対して、σキャリブレーションという条件を定式化し、さらに(σ,φ)-キャリブレートされた写像という概念を定義した。そして、XからYへの写像fが(σ,φ)-キャリブレートされた写像であるとき、fはσが誘導するエネルギーをホモトピー類の中で最小化することを証明した。また研究代表者が、この新たな概念がHarvey-Lawsonの意味でのキャリブレートされた部分多様体の概念を包含することを証明した。また、(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例として、ケーラー多様体間の正則写像と、カラビ・ヤウ多様体からその半分次元の多様体への写像で、正則値の逆像が特殊ラグランジュ部分多様体となるようなものが該当することを証明した。後者は特殊ラグランジュファイブレーションと呼ばれる、カラビ・ヤウ多様体の幾何学における重要な概念である。このように(σ,φ)-キャリブレートされた写像の例は、多様体上に特殊な幾何構造が入る場合に良い具体例が発生することが判明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究課題では、特殊な幾何構造をもつ多様体そのものに対する研究がテーマであった。しかし本年度の計画では、これらの多様体を2つ用意したときに、その間の写像に対しても特別な構造を定義することができることが判明したため、研究対象の範囲が大きく広がった。このことは本研究課題の開始当初は全く予期していなかった成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は、キャリブレートされた写像の具体例を他にも探し、それらの性質を調べることが方針となる。キャリブレートされた写像を定義するためには多様体のエネルギー密度と、閉微分形式という2種類の対象を設定する必要があり、この部分に現時点では膨大な自由度がある。しかし、幾何学的に意義のある写像のクラスを定義するためには、エネルギー密度と閉微分形式として取りうるものにはある種の制約が設けられるはずであることが今までの研究成果から感覚として得られており、その制約を数学的に定式化することを目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2022年度は、国内の一部の研究集会がオンライン開催となったため、出張旅費として確保していた研究費が未使用となった。2023年度は、対面開催が再開される研究集会に参加して情報収集するため、これらの旅費として使用する予定である。さらに、研究内容をまとめるためのノートPCの購入費用として使用する。
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