| 研究課題/領域番号 |
19K03475
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
高倉 樹 中央大学, 理工学部, 教授 (30268974)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | シンプレクティック商 / 余随伴軌道 / ウェイト多様体 / 凸多面体 |
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| 研究実績の概要 |
交付申請書に記したように、コンパクト単純リー群の余随伴軌道の族から直積・商などの操作により定まる空間のトポロジー・幾何についての研究を行った。具体的には、重複度多様体や多重ウェイト多様体のコホモロジー環の構造や位相型の特定について考察を行った。また同時に、上記の空間の代数的・組合せ的対応物である、リー群・リー環の既約表現の族からテンソル積・部分空間などの操作により得られる次数付きベクトル空間の構造についての研究を行った。それは各種の表現の分解の問題と深く関連し、ベクトル分割関数や、その連続版であるベクトル体積関数が重要な対象となる。
今年度は特に、特殊とは限らない（非退化な）A型ウェイト多様体の位相・幾何に関する総括的な考察を行った。まず、（非退化な）A型ウェイト多様体のコホモロジー環に関する既知の（R.Goldin による）結果を詳細に検討した。そこでは特殊とは限らない一般の場合も扱われているので、体積公式についても同様のことができるか、という問題を次に考えた。その結果、B.V.Lidskiiの公式を用いると、「良いchamber」に対するベクトル体積関数によって一般の（非退化な）A型ウェイト多様体の体積関数を表すことができることがわかった。
一方、重複度多様体や多重ウェイト多様体の複素的対応物および無限次元的対応物についての考察や、非アーベル商とアーベル商の間の対応関係、さらには各種の部分多様体の考察については、引き続き今後の課題としたい。
なお、良いchamberに対するベクトル体積関数に関わる結果の一部を、「On volume functions of special flow polytopes, arXiv:1904.05000」として発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
まず、研究実施計画欄に具体的な問題・目標としてとして挙げていたものの内、「(1) 余随伴軌道に付随するシンプレクティック商の同形類の考察」について、未解決の問題がいくつか残っている状態である。すなわち、非アーベル商とアーベル商の間の対応関係については依然として解決への糸口を模索している状態である。
一方、「(2) (1)の空間の不変量の計算と、その過程に現れる代数的・組合せ的構造の考察」については、A型ウェイト多様体の体積関数に対してひとまずの結果を得ている。今後は他の場合へ向けての問題設定が重要となる。
さらに「(3) (1)の空間の部分多様体の考察」については、調査が中断したままである。引き続き、今後の課題としたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
前年度の成果を踏まえつつ、「現在までの進捗状況」に記した具体的な問題・目標(1)(2)(3)について研究を継続する。研究方法については前年度の通りとする。ただし、検討すべき重要な項目として、「特殊重複度多様体や特殊ウェイト多様体の複素版の構造」を優先することを想定している。
また、これまでに得られた成果の発表とともに、文献・資料や情報の収集を継続して行い、検討項目を随時見直す予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者の本務先の事情により計画に遅延が生じたこともあり、予定していた国内出張を取り止めた。次年度使用額は、国内旅費として使用する予定である。
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