| 研究課題/領域番号 |
19K03476
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
井上 歩 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (10610149)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | カンドル / 結び目 / ファイバー結び目 |
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| 研究実績の概要 |
結び目理論とは，絡み合った紐（結び目）の性質を研究する学問である．結び目には，様々な手法（幾何的・代数的・解析的・組み合わせ論的など）によって記述される，種々の構造が備わっている．それら諸構造の間には密接な関わりがあると思われ，その研究を通して，例えば代数と組み合わせ論との関連性などが明かされてきた．そこで，カンドルという代数を用いて結び目の諸構造を研究し，これを通じてカンドルの理論と幾何学・組み合わせ論・解析学などとの関係性を研究することを本研究の課題とした．この課題に基づいて，本年度は次のような研究を行った．
多くの結び目（の補空間）にはファイバー束という構造が備わっている．この構造を備えた結び目を，ファイバー結び目と呼ぶ．結び目には結び目カンドルという固有のカンドルが定まるが，研究代表者はこれまでの研究から，ファイバー結び目の結び目カンドルはファイバー束の情報（ファイバー曲面とモノドロミー）で完全に記述できることを明らかにしていた．また，結び目カンドルのホモロジーからファイバー曲面が復元できるだろうと考え，研究を進めていた．本年度はこの研究をさらに進め，一般にファイバー曲面であるとは断定できないものの，ファイバー曲面の候補であるザイフェルト曲面が結び目カンドルのホモロジーから復元できることを明らかにした．さらに，この枠組みを用いて，いくつかの有限群の具体的なコサイクルを構成した．また研究代表者は，以前，結び目カンドルからアレキサンダーカンドルと呼ばれるカンドルへの準同形写像の個数が結び目のアレキサンダー不変量から計算できることを示していた．この証明は純粋に代数的なものであったが，ファイバー結び目に対しては，新たに幾何学的な別証明を与えることができた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
結び目カンドルのホモロジーからファイバー結び目のファイバー曲面を復元することは，当初からの課題の一つであった．実際にはザイフェルト曲面までしか復元できなかったが，これは本質的な限界のように思われるので，目標は達成されたと考える．また，まだ詳細を明かすことはできないが「今後の研究の推進方策」に記述した方策に従い，（ファイバー束とは異なる）結び目の構造とカンドル理論との研究も進んでいる．
以上の理由より，研究の進捗は，おおむね順調に進展していると考える．
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| 今後の研究の推進方策 |
（1次元）結び目は円周が3次元空間内で絡まったものであった．同様に，4次元空間内では球面を絡めて配置することができる．これを2次元結び目と呼ぶ．1次元結び目と比べても，2次元結び目に対する研究はまだまだ十分とは言いがたい．その原因の一つは，知られている構造（不変量）の少なさにあると考えられる．結び目カンドルは任意の次元の結び目に対して定義される不変量である．まず1次元結び目の構造と結び目カンドルとの関連性を研究し，その関連性を2次元結び目にも見出すことで，2次元結び目の新たな構造を発見したい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度に海外の研究者と研究打ち合わせを行う予定だったので，本年度の支出を控えた．
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