| 研究課題/領域番号 |
19K03479
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
吉田 尚彦 明治大学, 理工学部, 専任講師 (70451903)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 幾何学的量子化 / Lagrangeファイバー束 / Spin-c量子化 / 実量子化 / 断熱極限 |
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| 研究実績の概要 |
Kostant-Souriauによる幾何学的量子化において，量子Hilbert空間の構成には偏極と呼ばれる付加構造が必要で，得られた結果が偏極の選び方に依存するかどう かが問題になる.これについて，Kahler偏極の1係数族で，これを用いた幾何学的量子化が実偏極を用いた幾何学的量子化に収束するような例が知られている. 一方，シンプレクティック多様体上の可積分とは限らない概複素構造に対して，Kahler量子化を一般化したSpin-c量子化と呼ばれる方法がある.これまでの研究では，Lagrangeファイバー束に対して，Spin-c量子化の断熱極限と実偏極を用いた幾何学的量子化の関係を研究し，ある仮定の下，前量子化束の切断の族{s_b | bはBohr-Sommerfeld点 (以下，BS点)}で，断熱極限をとると各s_bは対応するBSファイバーに台を持つデルタ関数に収束し，かつSpin-c Dirac作用素Dによる像 Ds_bが0に収束するものを構成した.概複素構造が可積分な場合には，{s_b}は正則切断の空間の基底にとれる.また，全空間上の関数fに対して前量子化束の切 断の空間上に線型作用素 Q(f)が定まるが，概複素構造が可積分である場合にQ(f)が{s_b}を保つ必要十分条件とその場合に作用素の{s_b}に関する表現行列を求めた.
先行研究で得られた前量子化束の切断の族{s_b | bはBS点}が生成するHilbert空間は，断熱極限の下，何らかの意味で，Spin-c Dirac作用素Dの核に収束し，かつ，実量子化における量子Hilbert空間にも収束すると考えられる．このことをうまく利用することで，Spin-c Dirac作用素Dの核が断熱極限の下で実量子化における量子Hilbert空間に，何らかの意味で，収束するのではないかと考え、考察を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
今年度も，昨年度と同様に，学内での新型コロナウイルス対応にほとんどの時間をとられてしまった．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに予定していた以下の計画がほとんど実施できなかったため，今年度に改めて実施したい.
(1) 全空間上の関数fに対して前量子化束の切断の空間上に線型作用素Q(f)が定まる.これまでの研究では，概複素構造が可積分である場合にQ(f)が{s_b}を保 つ必要十分条件とその場合に作用素の{s_b}に関する表現行列を求めた.そこで，まずは概複素構造が可積分でない場合に上述の条件を満たすfについて，s_bの Q(f)による像の{s_b}の1次結合で表せない部分の評価を行う.
(2) Lagrangeファイバー束の底空間のアファイン体積とBS点の個数との関係を，まずはMetaplectic-c量子化の場合に，Lagrangeファイバー束の双対トーラス 束の交叉理論を用いて研究する.さらに，Lagrangeファイバー空間が非退化楕円型特異点を許容する場合にもintersection homology theoryなどを用いて一般化 を試みる.
(3) Spin-c Dirac作用素Dの核の元について，断熱極限のパラメータを十分大きくとると，次数0以外の部分のノルムは次数0部分のノルムで上から抑えられることを示す.
(4) Spin-c Dirac作用素Dの核が断熱極限の下で実量子化における量子Hilbert空間に，何らかの意味で，収束することを示す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染拡大の影響で，渡航しての研究打ち合わせ，参加予定であった国内外の研究集会，学会が中止，或いはオンライン開催になったため，旅費の支出がなくなった.
研究集会が少しずつ対面開催に戻り始めているため，新型コロナウイルスの状況を見極めた上で，現地参加をする．
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