| 研究実績の概要 |
コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数（増大度関数）の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な２次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。今回の研究ではZehrt及び梅本が調べたコンパクト４次元双曲コクセター系の増大度が、常に２サレム数になることを示した。証明のアイデアは以下の通りである。Zehrtのコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が１６で。梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は次数が１８である。さらに根の分布から分母多項式は２サレム多項式か、サレム多項式の積に分解するかのどちらかになることが分かる。もしサレム多項式の積に分解するならば、既約因子はそれぞれ１４次以下、１２次以下のサレム多項式になるはずである。しかしMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストにこれらの多項式は現れていないことから、Zehrtと梅本のコクセター系の増大度関数の分母多項式は２サレム多項式、つまり増大度は２サレム数になることが分かった。このようにMossinghoffによって分類された小さい次数のサレム多項式のリストを用いて、２サレム数を増大度に持つコクセター系の無限族が構成できたことは興味ある結果と思う。以上の結果はエジンバラ大学のC.Smythとの共同研究である。
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