| 研究実績の概要 |
コクセター系(W,S)の生成系Sによる、群Wの母関数（増大度関数）の収束半径の逆数は増大度と呼ばれ、Sの元が鏡映として空間に離散的に作用する際、Wの基本領域である多面体が空間をタイル張りする拡がり方を表す量である。一方(W,S)から |S|-次元実アファイン空間に W-不変な２次形式Bが定義され、(W,S)の幾何学的実現と呼ばれるWから直交群O(V, B)への単射準同型が定まる。この時コクセター元と呼ばれるWの元のスペクトル半径が、(W,S)の幾何学的実現から一意に決まる。アファインコクセター系 A_{k-1} の頂点の１つに辺を付け加えたコクセター系を Ah_{k} とするとき、k が奇数ならば Ah_{k} のコクセターグラフは双曲的かつ結晶的な２部グラフになるので、マクマレンの結果より２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数になる。今回の研究では、k が偶数の時に Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系が、 k が８以下なら双曲的で、k が１０以上なら高階数というクラスになることを示した。よってマクマレンの結果より k が８以下なら２部コクセター元のスペクトル半径はサラム数だが、k=10 の場合は２サラム数になることを示した。今回の結果の応用としてAh_{10} の２重被覆をとった２部グラフに対応する単純閉曲線を種数１０の閉曲面に描き、互いの交わらない１０個の単純閉曲線の族AとBの積のデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率を考えることで、擬アノソフ写像の拡大率が２サラム数になることが分かる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
コロナウイルスのため、共同研究等が全く進展しなかったので、Coxeter群の増大度とCoxeter元のスペクトル半径の間のMcKay対応の研究については進展がなかった。一方、Ah_{k} のコクセターグラフの２重被覆をとったグラフに対応するコクセター系についてはkが１０以下の偶数の場合に進展があったので、さらに k=12,14,16 と同様に２サラム数になるが、k=18 の場合は再びサラム数になり、一般に k が１０以上なら２サラム数になるかを現在調べている。今回の結果の応用として拡大率が２サラム数になる擬アノソフ写像が構成できる。具体的には以下のサーストンの構成を用いる。種数が２以上のコンパクトで向き付け可能な曲面上の２組の多重単純閉曲線族AとBを考える。それらの各成分である単純閉曲線を頂点とし、交わる場合にのみ交点数の数だけの線分で頂点どうしを結ぶことにより２部グラフができる。このグラフから二次形式が得られ、その二次形式を保つような鏡映群が定義される。このときデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率が、対応するコクセター群の２部コクセター元のスペクトル半径に一致することをレイニンガーは示した。そこで今回のAh_{10} の２重被覆をとった２部グラフに対応する単純閉曲線を種数１０の閉曲面に描き、互いの交わらない１０個の単純閉曲線の族AとBの積のデーン・ツイストの積ABからなる擬アノソフ写像の拡大率を考えることで、擬アノソフ写像の拡大率が２サラム数になることが分かる。
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