| 研究課題/領域番号 |
19K03489
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 情報幾何学 / 統計多様体 / アファイン分布 / Markov埋め込み |
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| 研究実績の概要 |
曲線や曲面など、曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率分布などを高次元空間内の点だと考え，抽象的な情報の空間を多様体とみなす．これまでの情報幾何学の研究は，曲がった空間の内積に相当するリーマン計量や、微分に相当するアファイン接続を，情報空間のなす多様体に適用するものがほとんどであった．そこで本研究は，情報空間に構成される統計多様体の系列や，シンプレクティック構造など，情報幾何学に対する高次幾何学構造の数学的基礎の構築を目指す．さらに，情報幾何学における数学的基礎の諸分野への応用も検討する．
2020年度は情報幾何学の基本問題に立ち返り，統計モデルにおける自然な幾何学構造を再検討し，その幾何学・統計学の構造解明に取り組んだ．情報幾何学では一般的にはMarkov埋め込みに対する幾何学構造の不変性を要請するが，Markov埋め込みとは異なる埋め込みを定式化し，さらにその埋め込みに関する不変計量を求めた．
情報幾何学では，異なるダイバージェンスから同一のリーマン計量が誘導されるなど，幾何学の構成に様々な不定性がある．変形指数型分布族の場合に，エントロピーは同一であるが異なるダイバージェンスが構成されるという，エントロピーに対するゲージ不定性などの研究も行った．
捩れを許す統計多様体の幾何学とアファイン分布論に関して，特に複素統計多様体上の擬似統計構造とアファイン分布論との関係について，国際会議において研究成果発表を行った．またこれらの研究成果をまとめた論文は2021年度に入って出版されている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の最初の問題である異常統計における統計モデルの再定式化に関しては，順調に成果が得られている．2020年度は一般化期待値に関連したエントロピーのゲージ不定性について研究成果を出版した．確率空間のスケーリングと統計モデルの再規格化についても，研究を継続している．
捩れを許す統計多様体や擬似統計多様体に対しても，昨年度に引き続き研究を継続している．複素擬似統計多様体に対するアファイン分布の基本定理について，基本的な性質は昨年度解明できていたが，修正を加えて作成した論文が国際学術誌に掲載受理となった．この論文は2021年度に出版されている．
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度から引き続き，異常統計における統計モデルの再定式化，アファイン分布論の構成と非可積分推定関数の幾何学の解明などは，いずれも順調に研究が進展している．このまま研究を推進する．例えば，擬似統計多様体の幾何学に関連した，統計多様体の幾何学とケーラー幾何学，シンプレクティック幾何学との関係解明は興味深い問題である．また，計量が退化する場合に統計多様体の構造をどのように拡張するべきかについても議論が始まっており，興味のある問題である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年度に開催が予定されていた国際会議が軒並み延期となった．これらの国際会議は2021年度に開催予定であり，もともと2021年度に開催予定であった学会への出張分と合わせて，主に旅費として使用予定である．
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