| 研究課題/領域番号 |
19K03492
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
中西 康剛 神戸大学, 理学研究科, 名誉教授 (70183514)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 結び目 / 図式的アプローチ / 局所変形 |
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| 研究実績の概要 |
「研究の目的」にあるように、図式的アプローチにより結び目の研究を行った結果、次のような研究実績が得られている。
(I) 仮想結び目の不変量に関し、比嘉隆二、中村拓司、佐藤進との共同研究による成果である。検討の結果、４つに分割して論文作成することにした。(1)は掲載受理されている。(2)は投稿中である。(3),(4)は投稿準備中である。これらの成果は研究集会で報告済みである。
(1) 仮想結び目の基本的な不変量である writhe polynomial に対して観点を変え深く考察することにより新しい多項式不変量が 3 種類得られ、 first, second, third intersection polynomials と命名した。定義とその計算方法を与えた。(2) 連結和に関してどのような振る舞いをするのかを研究し公式を与えた。(3) どのような多項式がこれらの不変量になるのかの必要十分条件を与えることに成功した。(4) これらの多項式不変量の組み合わせにより、交差交換で不変な不変量も構成できる。言い換えると、平坦仮想結び目の不変量が得られた。交差数や仮想交差数の評価をこれらの多項式の次数で与えた。intersection polynomials が order 2 の有限型不変量であることを示した。
(II) 結び目の Conway 多項式が pass-move による変形でどのような振る舞いをするかを研究した。未解決であった、pass-move １回で解けるような結び目の Conway 多項式の特徴づけを与えることに成功した。高木駿希との共同研究による成果である。現在のところ、論文作成中である。この成果は研究集会で報告する予定である。
「研究実施計画」に基づき、結び目や低次元多様体の多岐にわたる話題に精通している研究者との交流を進めてきた成果として得られている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
「研究実施計画」に基づき、結び目や低次元多様体の多岐にわたる話題に精通している研究者との交流を行なってきている。
本年度の計画では、神戸近辺での結び目と局所変形の研究会を開催し研究者を呼んだり、国内外の研究集会に出席し成果発表するなどの研究交流に取り組む予定であったが、コロナ感染の拡大により、実現が困難になった。このため、オンラインでの研究集会を活用したが、成果発表したりそれを聞くなどのことは可能であっても、直接面談できるほどには研究交流は進捗していない。そうした状況の中で、比嘉隆二、中村拓司、佐藤進とインターネットを通じてほぼ毎週のようにセミナーをすることで「研究実績の概要」で述べたような成果が得られたことは特筆するべきことと思う。特に、中村が山梨に移ったので、リアルなセミナーはできない状況であった。インターネットの活用で知己の研究者と感染のリスクなしに研究交流ができることはとても良いことで、これからも活用していきたいと思う。一方で、これまでに交流のない、あるいは、あまりない研究者との研究交流は、インターネットを活用してもリアルな面談ほどには進まない
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題の今後の推進方策については、「研究実施計画」にあるように、結び目理論や低次元多様体の多岐にわたる話題に精通している研究者との交流が不可欠である。研究計画が当初計画どおりに進まないときでも、関連する研究者の意見や助言を得ることにより、軌道修正することが可能になる。研究者を神戸に呼んだり、学会や研究集会に積極的に参加して、情報収集をはかり、将来の方向性に関する議論を深める機会にする。コロナウィルスによる情勢では海外出張は難しいかもしれないが、可能性があれば、外国における国際集会での研究発表も検討したい。具体的な研究課題は次のとおりである。
(1) 局所変形の開発：本研究課題のコアで、新しい局所変形の発見、局所変形で写りあう結び目に関する結び目の構造を究明する。局所変形の間の関係性、例えば強弱、について研究する。
(2) 不変量の究明：結び目理論の中心的課題の一つであり、多様な結び目の不変量に関する結び目の構造を研究する。また、不変量の発見を試みる。
(3) 仮想結び目への応用：仮想結び目について、局所変形の発見および応用を研究する。
(4) 彩色数への応用：彩色数について、局所変形の発見および応用を研究する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
国内外の学会や研究集会への旅費を計上していたが、コロナの感染状況の悪化により全て断念した。このことにより差額が生じた。可能であれば、今年度に旅費での使用を計画する。研究集会における発表に必要な備品を購入する。また、研究の性質上、研究書、研究雑誌は不可欠であり今年度も購入する。
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