| 研究実績の概要 |
本課題では、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義、定式化などの基礎的事項を中心に研究を行った。Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型とは、３次元多様体の不変量である。この不変量のいくつかの強力なトポロジーへの応用が知られていた。一方、定義や計算が難しく、本研究課題が行われる前までは、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の研究は限定的な範囲に留まっていた。より広いクラスの３次元多様体に定義を拡張したり、計算手法を確立し、より多くの３次元多様体に計算できるようになれば、多くの興味深い応用が期待できる。しかし、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー型の定義を第一Betti数が正の場合に拡張するには、解析的、ホモトピー論的な困難があることが知られていた。
本研究課題では、Stoffregenとの共同研究によって、第一Betti数が正の場合に、ある位相的条件の下、定義を拡張することができた。これは本研究課題の主目標を概ね達成できたといってよい。
最終年度では、Dai, Stoffregenと、Seiberg-Witten Floer安定ホモトピー群の計算や応用を研究した。また、今野氏と族の３次元多様体に対するSeiberg-Witten Floer安定ホモトピー型のトポロジーへの応用を研究を行った。今後トポロジーへのさらなる応用が見込まれる。
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