曲面の写像類群における線型性の視覚化の深化

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03498
• 研究機関: 高知工科大学
• 研究代表者: 笠原 泰 高知工科大学, 共通教育教室, 准教授 (80299370)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 写像類群 / 曲線加群 / 幾何的交叉 / Johnson filtration / 線型表現

研究実績の概要

前年度に引き続き, これまでに研究代表者が発見し研究してきた，曲面の写像類群における線型性の視覚化の観点から生じる問題の位相幾何的研究を継続・発展させるため，線型性の視覚化を記述する枠組みを与える一般論の整備に努め，既知の具体例や，派生する具体的問題をより深く追求しさらに両者の連関を検討した。 より具体的な項目としては以下の通り：
（１） 曲線加群の基礎理論に関して： これまでに知られている唯一のスケイン型有限次元曲線加群である，Ｌｕｏの表現の代数的性質について引き続き検討した。 その他，曲面の写像類群のＴＱＦＴ表現など，関連すると思われる理論を検討した。
（２） Ｊｏｈｎｓｏｎ ｆｉｌｔｒａｔｉｏｎと幾何的交叉の関係の定量的研究： これまでに，単純な代数的計算によれば反例があるように見えていた或る命題の次数４の場合が，実際には成り立っていることを，自由リー代数のホール基底を用いて証明していたところ，さらに一般次数の場合の命題の成否を決定すべく予備的考察を続けた。
（３） 曲線加群の次元の有限性との親和性が期待される，Ｃｈｕｒｃｈ－ＦａｒｂらによるＦＩ加群の理論について引き続き検討した。
（４） 写像類群の低次元複素線型表現の分類の検討： 引き続きこれまでに得られていた，種数ｇの有向曲面の写像類群の，ｇが十分大きい場合に対する２ｇ＋１次元複素線型表現の共役を法とした分類結果の証明の細部を検討し，これまでに準備していた論文原稿の改良・改訂に努めた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究課題は, 数学理論についての基礎研究で, その対象は本質的に予測不能のものであり, 試行錯誤により知見を積み重ねてゆく性質のものである. その試行錯誤の内容は「研究実績の概要」に述べた通りであり, この評価が妥当と考える.

今後の研究の推進方策

「研究実績の概要」で述べた項目を, 引き続き継続・発展させる. あわせて, 研究全体に対する視点をより深めるため, また当初の見込み通りに研究が進展しない場合に備え, 関連する理論を調査・検討する. その結果も踏まえつつ, 次に進めるべき項目の妥当性についても検討を続け, 必要に応じて研究項目の組み替え・整理を行いつつ 本来の目標を目指して研究を続けてゆく.

次年度使用額が生じた理由

主に, コロナ禍で参加を予定していた国内外の研究集会・研究連絡がすべてキャンセルとなったため. コロナ禍が収束した暁には, 研究集会参加による資料調査・研究連絡等により使用する予定である.