| 研究課題/領域番号 |
19K03508
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| 研究機関 | 前橋工科大学 |
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研究代表者 |
矢口 義朗 前橋工科大学, 工学部, 准教授 (90613018)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | ブレイド群 / 対称群 / Hurwitz作用 / 曲面ブレイド |
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| 研究実績の概要 |
任意の群の直積には，ブレイド群（組みひも群）によるHurwitz作用が定義される。ブレイド群の直積をHurwitz作用で軌道分解することで，ブレイドの２次元版である曲面ブレイドを完全に分類できることが知られている。しかし，ブレイド群は複雑であるため，ブレイド群の直積における軌道分解は非常に難しく未解決である。本研究は，ブレイド群からのJohnson写像や対称群を用いて，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見することを目的としている。
【前提１】「４次対称群の直積の部分集合で『長さ２』の巡回置換（つまり互換）のみを並べてできる組の集合におけるHurwitz軌道分解」は19世紀末，Hurwitzによって完全に解決されている。
【前提２】前年度，研究代表者は「４次対称群の直積の部分集合で『長さ４』の巡回置換のみを並べてできる組の集合におけるHurwitz軌道分解」を完全に解決している。
【本年度の研究成果】「４次対称群の直積の部分集合で『長さ３』の巡回置換のみを並べてできる組の集合におけるHurwitz軌道分解」を完全に解決することができた。（特に，４次対称群の４個以上の直積の部分集合で『長さ３』の（符号が正の）巡回置換のみを並べてできる組の集合におけるHurwitz軌道の個数は，直積の個数に依らずちょうど96であることがわかった。）
このことにより，「４次対称群の直積全体をHurwitz軌道分解する」，すなわち「次数４の曲面ブレイドをブレイドモノドロミーの置換のタイプにより分類する」ことへ（段階的に）大きく近づくことができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2020年度の実施状況報告書「８．今後の研究の推進方策」に挙げた項目の１つであった，「４次対称群の直積の部分集合で，『長さ３』の巡回置換のみを並べてできる組の集合におけるHurwitz軌道分解の推進」を（部分的でなく）最後まで完全に解決することができた。（今後論文を執筆していく。）このことにより，次数４の曲面ブレイドの分類や標準形の構成が大きく前進することが期待できる。
したがって，本年度については「(2)おおむね順調に進展している」と評価する。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の目標は，ブレイド群からのJohnson写像や対称群を用いて，ブレイド群の直積のHurwitz同値不変量を構成し，曲面ブレイドの未知の性質を発見すること
である。そこで今年度は昨年度までに得られた成果を踏まえて，以下のことに取り組む予定である：
１．ブレイドシステムの集合の第１Jhonson写像による像をHurwitz同値で完全に分類することを目標とする。（１，は昨年の続きである。）
２．対称群の直積におけるHurwitz軌道分解の研究を更に進めていきたい。特に次の段階では，４次の対称群の直積「全体」においてHurwitz軌道分解を推進していく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（次年度使用額が生じた理由）本年度は新型コロナウイルス流行により，研究集会等はすべて中止，またはオンライン開催に置き換わり，旅費の支出分が０であったことから。
（使用計画）直接対面で情報交換ができない分については，海外の数学雑誌などを購入し情報収集を行う。また，新型コロナウイルスが収束したのち，各地で開催される研究集会に積極的に参加し，情報収集・研究成果の発表を行う。
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