| 研究課題/領域番号 |
19K03509
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
小島 武夫 山形大学, 大学院理工学研究科, 教授 (80307800)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 変形W代数 / 自由場構成 / 2次関係式 / Twisted algebra / 双対性 |
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| 研究実績の概要 |
変形W代数 W_{q t}(g) (Twisted affine Lie 環 g=A_{2N}^{(2)})の２次関係式を考察した。 出発点は Frenkel-Reshetikhin による基本 Wカレント T_1(z) の自由場構成である。高次 Wカレント T_i(z) (i=2,3,4,...) の自由場構成を、２次関係式が存在すべきという必要条件から実現した。その際 Frenkel-Reshetikhin の自由場構成のゼロ・モードを適切に修正した。そして、高次 Wカレント T_i(z) の満たす２次関係式を書き下した。この２次関係式には、 Lie 環 g=A_N^{(1)} に対応する変形 W 代数の場合と異なり、パリティを保存しない項 T_{j-i}(z)が現れる。それに加えてカレントの間に「双対性」と呼ぶべき関係式 T_i(z)=Cons.T_{2N-i+1}(z)が存在することを見つけた。これらの結果はランク N=1 の場合 （g=A_2^{(2)}）における既知の結果を特殊ケースとして含んでいる。この２次関係式と双対関係式を定義関係式として、生成元と関係式による変形W代数の定義（の候補）を与えた。これらの結果は論文(arXiv:2108.13883)にまとめ学術雑誌に投稿中である。さらに、変形W代数 W_{q t}(g) の２次関係式を affine Lie 環 g=B_{N}^{(1)} の場合に考察した。Frenkel-Reshetikhin による基本 Wカレント T_1(z) の自由場構成を出発点とした。ランク N が小さい場合に Twisted affine Lie 環 g=A_{2N}^{(2)} の場合に類似した２次関係式が存在することを確認した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の計画以上に進展している。研究計画に従い高次Wカレント T_i(z) の閉じた２次関係式を書き下しただけでなく、想定外のこととして、高次 Wカレント相互の双対性を見つけることができた。変形W代数の生成元と関係式による定義（の候補）を与えることができた。共形場理論のW代数においては、ランクが低い場合を除いて、生成元と関係式による定義は未解決問題である。変形W代数への一般化により、より簡明な取り扱いができることを期待している。
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| 今後の研究の推進方策 |
変形W代数を更に一般化した枠組みまで、２次関係式や可換保存則を拡張することが可能であることが明らかになってきた。本研究ではそれらの新たな知見も取り入れて研究を進める。量子トロイダル代数から構成される、より一般化された変形W代数に対して、２次関係式や可換保存則の構成を行うこととする。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍のため予定していた出張が中止となったため。
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