• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2023 年度 実施状況報告書

量子W超代数の自由場表示の構成と可積分系への応用

研究課題

研究課題/領域番号 19K03509
研究機関山形大学

研究代表者

小島 武夫  山形大学, 大学院理工学研究科, 教授 (80307800)

研究分担者 神保 道夫  立教大学, 理学部, 名誉教授 (80109082)
研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2025-03-31
キーワード可積分系 / 変形W代数 / 量子トロイダル代数 / スクリーニング作用素 / 2次関係式 / 運動の保存則 / 楕円関数 / W代数
研究実績の概要

変形W代数はW代数のパラメータによる量子変形である。変形W代数の定義は、ハイゼンベルグ代数におけるスクリーニング作用素のコミュタントで定める方法が20世紀末より知られていた。量子トロイダル代数による構成法が近年になり神保らにより提唱された。この構成法にはメリットがある。例えば gl_1 型量子トロイダル代数を活用して構成されるA型の変形W代数 Y_{L,M,N}は、スクリーニング作用素から構成した変形W超代数 W_qt(A(M,N))のさらなる一般化を与えている。また、スクリーニング作用素のアフィン化S_0(z) が得られるので運動の保存則などの構成に活用できる。
小島は変形W代数 Y_{L,M,N}の閉じた2次関係式を導出した。この結果は Springer Proceedings of Mathematics and Statistics に掲載が決定した。量子トロイダル代数そのものが興味深い研究対象であり、運動の保存則と呼ばれる可換な部分代数が重要な主題の一つである。神保は Feigin, Mukhin と共同でgl(m|n)型量子トロイダル代数の場合に、シャッフル代数による実現を利用して対応する可換な部分代数を構成し、それがある多項式環と同型になることを示した。この結果は Journal of Pure and Applied Algebra に掲載が決定した。
神保と小島は共同で量子トロイダル代数から構成されるD型の変形W代数の運動の保存則 I_m, G_nを考察し、可換性 [I_m,G_n]=0の証明に取り組んでいる。積分が多い場合へと証明を拡張しつつあり、一定の結果が得られている。証明の過程で計算手法が磨かれており、例えば、図を描いて留数計算を進める手法は他のDynkin図形の場合にも活用できることが期待される。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

量子トロイダル代数から構成されるD型の変形W代数の運動の保存則 I_m, G_nの可換性 [I_m,G_n]=0の証明の取り組みでは、積分が多い場合へと証明を拡張しつつあり、一定の結果が得られている。証明の過程で計算手法が磨かれており、例えば、図を描いて留数計算を進める手法は他のDynkin図形の場合にも活用できると期待される。今後の発展に資する結果が得られている。また、変形W代数 Y_{L,M,N}の閉じた2次関係式、gl(m|n)型量子トロイダル代数の可換な部分代数(運動の保存則)の構成なども得られており、おおむね順調に進展している。

今後の研究の推進方策

量子トロイダル代数から構成されるD型の変形W代数の運動の保存則 I_m, G_nの可換性 [I_m,G_n]=0の証明を神保と小島は2024年度も継続する。現在までの2年がかりの証明の過程で計算手法が磨かれており、問題はかなり明瞭になった。これらの知見を活用することで今後は一層のスピードアップが期待される。対面討論とZoom討論の両輪の密接なコミュニケーションにより、この問題の解決に向け加速すると同時に、発展的課題の方向に徐々に研究を発展・深化させていきたい。

次年度使用額が生じた理由

コロナ禍により旅費の使用が少なかったため。

  • 研究成果

    (8件)

すべて 2024 2023 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 3件、 招待講演 3件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] Indiana University(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      Indiana University
  • [国際共同研究] Yerusalem University(イスラエル)

    • 国名
      イスラエル
    • 外国機関名
      Yerusalem University
  • [雑誌論文] Quadratic Relations of the Deformed W -Algebras2024

    • 著者名/発表者名
      Takeo Kojima
    • 雑誌名

      Springer Proceedings in Mathematics and Statistics

      巻: 10月出版予定 ページ: in press

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Commutative subalgebra of a shuffle algebra associated with quantum toroidal $\mathfrak{gl}_{m|n}$2024

    • 著者名/発表者名
      B.Feigin, M. Jimbo, and E.Mukhin
    • 雑誌名

      Journal of Pure and Applied Algebra

      巻: 6月出版予定 ページ: in press

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Quadratic Relations of the Deformed W-algebras2023

    • 著者名/発表者名
      T. Kojima
    • 学会等名
      Lie Theory and Its Application in Physics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Scientific Achievements of Fedor Smirnov2023

    • 著者名/発表者名
      M.Jimbo
    • 学会等名
      Integrable Systems and Field Theory
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Remarks on q-Difference Opers and Bethe Ansatz2023

    • 著者名/発表者名
      M.Jimbo
    • 学会等名
      Integrable Systems and Field theory
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] Dr.Kojima’s Homepage

    • URL

      https://bt.yz.yamagata-u.ac.jp/mathematics/kojima/kojima.html

URL: 

公開日: 2024-12-25  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi