| 研究課題/領域番号 |
19K03512
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 非定常Ruijsenaars関数 / アフィン遮蔽作用素 / アフィンLaumon空間 / B型のq戸田作用素 / 隣接関係式 |
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| 研究実績の概要 |
本年度に得られた結果について簡単に説明する。
（１）私は、これまでの研究において、アフィンルート系に付随した遮蔽作用素の行列要素として定義される、非定常Ruijsenaars関数を導入した。それは、幾何学的には、アフィンLaumon空間のオイラー指標（ないしNekrasov分配関数）と一致する、微分極限において非定常楕円Calogero方程式の固有関数となっている（A.Negut）などの性質を持つ。非定常Ruijsenaars関数の満たすべき方程式について、これまでいくつかの研究があった（A. Varchenko and G. Felderなど）が、明示的に書き下された方程式は知られていなかったように見える。E.Langman氏、野海正俊氏との共同研究において、非定常Ruijsenaars関数が満たすであろう方程式(これは具体的に書き下すことができる)に関する予想を得た。この方程式に現れる作用素（T作用素）は、qのラプラシアン乗を主項として与えられる級数の形を持っており、その展開係数には、非定常Ruijsenaars関数自身の展開係数を配置したものとなっている。数式処理プログラムを用いれば、その固有方程式が成立しているだろうことを確認することができるが、その計算は極めて非自明なもので、現在その証明に向けての研究を進めているところである。
（２）数年前、星野歩氏との共同研究で、B型のq戸田作用素の固有関数の級数表示に関する予想を得ることができた。大久保祐輔氏、星野歩氏との共同研究によって、その証明を得ることができた。証明自身は複雑なものではない。ただし、他変数超幾何級数に関するある種の隣接関係式を明らかにする必要があった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
（１）上述した、T演算子に関する(予想の)発見は、非定常Ruijsenaars関数をめぐる方程式、すなわち、（熱的）KZ方程式の差分化の可能性について、全く新しい視点を与えるものではないかと思われる。現在、その証明について、多方面の専門家と議論を重ねているところである。しかしまだ、証明遂行の見通しは立てられていない。例えば、量子トロイダル代数の表現論を進めること、Nekrasovの研究方針に従いqq指標とそれの導く方程式系を研究すること、代数幾何学における不変量(Donaldson-Thomas不変量など)の満たす方程式(Wall crossing structureなど)を参考（中島、吉岡の方法など）にして研究を進めること、などがその現状である。
（２）Koornwinderの差分作用素に付随する固有関数の研究は、ルート系に依存しない形でこのような研究の全体像を描くためには避けられないものと私は考えている。その方向への具体的な進展も、ゆっくりではあるが、進んではいる。B型のq戸田作用素の固有関数の研究はその一端であるが、残念ながらあまりにも小さな項目のようにも感じられる。今後の研究において、技術的な柔軟さを向上させ、より良い理解を目指す必要が感じられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究課題の推進方策について、上記以外のことについて以下に簡単にまとめる。
（１）非定常Ruijsenaars関数に関するPieri公式の研究。（少なくともA型の）Macdonald多項式の成功は、その（可換）環の構造が、Pieri公式と呼ばれる組み合わせ的な明示的公式で支配されていることにある。A型以外のMacdonald多項式については、それの（組み合わせ的）理解はまだ完全に達成されたとは思われない。アフィンルート系に付随する、非定常Ruijsenaars関数の場合には、Pieri公式は共形場理論におけるコセット構成法と似たような状況を引き起こす。すなわち、様々な場の理論的な複雑さを呈するようになる。これまでに、最も簡単な例題について、非定常Ruijsenaars関数に関するPieri公式を計算し、その公式の予想を（まだ不完全ではあるが）得た。そのような方向に研究を進め、より深い理解が得られるように目指したい。Macdonald多項式の場合、Pieri公式は背後にある双Hamiltonian構造を反映している。つまり、Pieri公式を双対な変数に関するMacdonald作用素の作用に関する公式と思うことができる。つまり、このような双対性に関する描像をアフィンルート系に付随する場合にまで拡張することを試みたい。
（２）W代数や、そのq類似が、このような研究の背景には必ず隠されている。その信念によって、まだ知られていない（q-）W代数の研究を行う。例えば、境界付きの共形場理論、ないし、超共形場理論に現れるような代数の類似などについても研究を進める予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウイルス蔓延のため、予定した出張が実施できなくなったため。
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