| 研究課題/領域番号 |
19K03513
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
藤川 英華 東京工業大学, 理学院, 准教授 (80433788)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 複素解析学 / リーマン面 / 擬等角写像 / タイヒミュラー空間 / モジュライ空間 / タイヒミュラーモジュラー群 / 漸近的タイヒミュラー空間 / 双曲幾何 |
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| 研究実績の概要 |
双曲型リーマン面上の閉測地線の長さの集合は測地線スペクトラムと呼ばれ，曲面の双曲構造を決定するためのデータとして頻繁に用いられている．特に双曲面積が有限な曲面の場合，測地線スペクトラムは離散集合となり，単純測地線のみを考える場合とそうでない場合では状況は異なるが，ある長さ以下の閉測地線の数の増大度および素数定理の類似の研究は，大きく進展している数学のテーマにもなっている．一方，リーマン面の複素構造の変形空間であるタイヒミュラー空間の研究においても，付随する双曲構造の変形に伴い，変化する各測地線の長さを比較して変形度合を測ることが可能である．それを用いて定義されるタイヒミュラー空間上の距離には，Thurston の非対称距離や測地線スペクトラム距離などがあり，有限型，無限型の両方の双曲型リーマン面のタイヒミュラー空間の研究において興味ある対象を与えている．特に，幾何学的な不変量を用いた研究が難しい無限型リーマン面のタイヒミュラー空間の研究では，測地線スペクトラムの解析に負う議論が大きく，タイヒミュラー距離と測地線スペクトラム距離との比較の問題など研究が進んだテーマも存在する．
今年度の研究では，完備で位相的無限型である双曲型リーマン面に対して，その上の（単純）測地線スペクトラムの概念を導入した．リーマン面が有限型面の場合には，測地線スペクトラムは実数上の離散点列となるが，無限型の場合には特殊な場合を除いて集積点をもつ．そこで測地線スペクトラムの集積点集合の全体を本質的測地線スペクトラムと定義する．このとき，二つのリーマン面が漸近的等角同値であれば，それらの本質的測地線スペクトラムは一致することを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
目標としている研究の主要な部分について，その方向性が明らかになった.また問題点と今後の課題も具体的に明らかになっている.
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに得られた結果を講演により成果を公表することで，新しい視点を議論したい，また研究連絡やセミナーでの講演を行い，関連する研究者と意見交換を する.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初予定していた出張を行わなかったため次年度使用額が生じた．次年度は，国内研究集会およびセミナーに出席して，関連する研究者との研究連絡を行う.
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