| 研究課題/領域番号 |
19K03514
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
竹居 正登 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (60460789)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | ランダムウォーク / パーコレーション / 至る所微分不可能な連続関数 / 極限定理 |
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| 研究実績の概要 |
本年度も，研究計画に従って空間的・時間的に相互作用をもつ確率モデルの研究を進めた．その結果，(1)格子の各辺の通過に要する時間が空間的に相関をもつ状況におけるファーストパッセージパーコレーション問題，(2)記憶のあるランダムウォークに対する極限定理，(3)至る所微分不可能な連続関数と記憶のあるランダムウォークの関係について新たな知見を蓄積することができた．特に，(2)のテーマについてまとまって得られた成果について述べる．
Elephant random walkは，"step-reinforcement"と呼ばれる仕組みにより推移確率が変動する離散時間ランダムウォークであり，「記憶の強さ」に相当するパラメータα(-1<α<1)が臨界値1/2を超えると，通常のランダムウォークより大きなオーダーで拡散することが知られている．一方，劣臨界的・臨界的な場合には，ウォーカーの位置に関して中心極限定理が成立することが示されている．林正史氏(琉球大学)，大城壮氏(琉球大学)と共同で，この中心極限定理におけるモーメント収束の速さがパラメータα(-1<α≦1/2)にどのように依存するかについて研究した．奇数次モーメント及び2次モーメントの収束はαを小さくするほど速くなるのに対して，4次以上の偶数次モーメントの収束はαを負の値にしてもα=0の場合より本質的には速くならないことを証明した．
この成果を論文としてとりまとめて学術雑誌に投稿中である．また，昨年度学術雑誌に投稿した1次元線型強化ランダムウォークに対する極限定理についての論文1篇が受理・掲載された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
パーコレーションにおける極限定理の精密化や自己の軌跡が推移確率に影響を及ぼすランダムウォークの極限挙動については，依然として研究の進捗が計画よりもやや遅れている感があるが，これまでに得られている成果をとりまとめつつ，基本に立ち返って地道な研究を推進してきた．これによって，今後の研究につながる考察と，関連して取り組むべき課題を蓄積できている．また，パーコレーションの問題と関連した記憶をもつランダムウォークの一種であるElephant random walkや，この研究から派生した微分不可能な連続関数の研究については，当初計画に含まれない部分の研究がさらに進展している．
以上のことから，総合的に判断して「おおむね順調に進展している」と考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
パーコレーション・強化型ランダムウォークに関する種々の極限定理について，本年度までの積み上げをさらに推し進めて新たな成果を得ることを目指す．特に，ファーストパッセージパーコレーションにおける最適経路の性質の解明について本年度の考察をさらに深めたい．強化型ランダムウォークに関しても，木グラフ上のモデルを中心に，さらに精密な極限定理が得られないか考察を続ける．これらを両輪とした研究推進により，パーコレーションにおける極限定理の精密化への道すじをつけてゆく．
これらの研究を推進するために，最新の数学書を購入し情報を収集する必要がある．また，パーコレーションや記憶のあるランダムウォークについて活発に研究している国内外の研究者を訪問・招聘して意見交換を行なう．得られた成果については主に国内の研究集会において発表し，参加者と討論することでさらなる深化を目指す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
(理由) 令和3年度もコロナ禍の影響が継続し，研究打ち合わせや成果の中間報告等のために計画していた出張を一切断念せざるを得なかったため.
(使用計画) コロナ禍の状況を見極めつつ，可能な範囲で研究集会等に参加し成果発表や研究討論を行なう．直接訪問しての研究打ち合わせが難しい状況がさらに継続する場合には，研究のための資料を一層充実させ，遠隔討論の推進の効果を高める機材も購入するなど，研究計画遂行に有効な形で助成金を活用する.
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