レヴィヒンチン型表現からの自由確率論の研究

2023 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03515
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 名古屋市立大学 (2021-2023); 愛知教育大学 (2019-2020)
• 研究代表者: 佐久間 紀佳 名古屋市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (70610187)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 自由確率論 / 無限分解可能分布 / レヴィ測度

研究成果の概要

自由確率論おける調和解析的表現であるR-変換においてレヴィヒンチン表現を考える。そこのレヴィ測度を符号付測度まで許した場合その表現に対応する分布が存在する時、その分布を自由擬無限分解可能分布と呼ぶこととして、擬無限分解可能分布に対応する確率分布のクラスを自由確率論で導入した。そのクラスに入りかつ自由無限分解可能分布でないような例を数多く見つけた。また自由擬無限分解可能分布と同じ特性三つ組を持つ古典確率論における分布の例を見つけ、それらをつなぐことでBervcovici-Pata全単射と呼ばれる無限分解可能分布と自由無限分解可能分布を結ぶ全単射の定義域を拡張した。

自由記述の分野

確率論

研究成果の学術的意義や社会的意義

自由確率論はランダム行列などのサイズ極限における極限スペクトル分布に現れる関係をよく記述する道具として確率論では馴染み深い。本研究はその中でも分布間の関係を詳細に理解することを目的としており、その意味では近年数論などの純粋数学以外にも量子物理や統計物理をはじめとした物理学、通信理論、ファイナンス理論、機械学習理論など様々な分野で応用されているランダム行列理論に貢献することが期待できる。また他方で、無限分解可能分布と呼ばれるクラスは確率論でもレヴィ過程などの構成で基本的なクラスであるが、自由確率論でも同じような考え方ができ、ダイナミクスを表現するものの基本的な考えで意義があると考えている。