一様分布論の確率論的研究

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03518
• 研究機関: 神戸大学
• 研究代表者: 福山 克司 神戸大学, 理学研究科, 教授 (60218956)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 一様分布論

研究実績の概要

ヘルマン ワイルの一様分布定理によれば、発散する等比数列に関しては、ほとんどすべての初期値に関してその小数部分は１を法として一様分布することが知られている。さらにその経験分布関数の一様
分布関数への収束速度を上限ノルムで測った差異量に関して重複大数の法則が成り立つことはウォルター フィリップが弱い形で示していたが、研究代表者が以前通常のステイトメントの形を示し、そこに現れる定数は公比に依存して定まることがわかっ
ている。しかしその定数の具体形は公比が大きいときにのみ決定されており、公比が小さい場合にはわかっていないことがほとんどである。ここで、等比数列に無理数回転を加えて接道した場合の挙動を調べると、ほとんどすべての初期値に対してやはり重複大数の法則が成り立つが、そこに
現れる定数は一様分布独立確率変数に関する差異量に関する結果と同様に１／２に等しくなる。この驚くべき結果に関連し、任意の数列により摂動した場合の挙動に強い興味を持たざるを得ない。その場合、重複大数の法則はあい変わらず成立するが、そこに現れる定数は１／２と、公比の絶対値を公比にもつ等比数列に関する重複大数の法則に現れる定数との間の値をとり、さらに摂動数列の取り方により、これらの二つの値を端点にもつ閉区間に含まれるいずれの値も現れることが証明できた。この閉区間の任意の値の実現に関しては、以前にも等比数列の部分列全体を考えたときに得られているものである。この結果については現在学術雑誌に投稿準備中である。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

求めていた結果が得られたので。

今後の研究の推進方策

さらに摂動の効果についての精密な結果を得るべく研究を続ける。

次年度使用額が生じた理由

研究発表の時期が遅れたのが原因であり、今後改善する見込みである。現在学術論文の投稿準備中であり、その細部の検証及び最新の研究成果との比定などのための学術雑誌、学術書籍の購入などの費用が多くかかる予定である。