| 研究実績の概要 |
本研究の目標はGauss の超幾何関数とその合流型関数の一般化としてGel’fand と申請者によって導入されたGrassmann 多様体 Gr(2,N) 上の一般超幾何関数の積分表示を行列積分の形で拡張し，これらを統御する holonomicの構築と非線形可積分系との関係を明らかに，Lie 群論(対称錐の幾何)の視点から特殊関数論を構築することである。
今年度の研究では，Gr(2,4)上の超幾何関数であるGaussの超幾何とその合流型関数の内，Hermite-Weber, Airy関数の行列積分版についてその満たすべき微分方程式系を予想し，次のことを示した。１）方程式系を与える作用素たちのなすイデアルに対してグレブナー基底を求めた。
２）方程式系がholonomic系で，そのholonomic rankが2^nであることを示した。
３）nxn行列積分で与えられる関数が，実際に予想した方程式系の解になっていることをn=1,2,3の場合に示した。
４）量子Painleve系の多項式解やGr(2,4)上の超幾何積分の被積分関数を重み関数とするsemi-classicalな直交多項式と行列積分版Gauss, Kummer, Bessel, Hermite-Weber, Airy関数の特異性への制限との関係を明示的に与えた
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