| 研究課題/領域番号 |
19K03529
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
松井 優 近畿大学, 理工学部, 准教授 (10510026)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 構成可能関数 / ラドン変換 / 超局所解析 / 特異点論 |
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| 研究実績の概要 |
構成可能関数のラドン変換は位相的オイラー数を測度にもつ積分論における代数的な背景をもつ関数の幾何学的な積分変換である．本研究では，これまで主にコンパクトグラスマン多様体間で研究されてきたこの積分変換について，扱う多様体や関数のクラスを一般化し，さまざまな位相的ラドン変換について，特に反転公式と像の特徴づけを中心に考察を行う．また，これら位相的積分変換のさまざまな応用についても研究を行う．2019年度は主に具体例の構成をはじめとした準備的な研究を行う計画であった．
まず，構成可能関数のラドン変換の研究について説明する．2019年度は，アフィングラスマン多様体間の位相的ラドン変換について，幾何的な状況からの理論的な考察を行った．未解決部分の完全解明には至っていないが，一部の結果はコンパクトグラスマン多様体間の結果から導くことができることがわかった．また，双複素数環上の解析学について研究を行った．これは当初の計画とは異なるが，新たな方向への拡張に向けた準備である．2019年度は特殊なクラスの不等式から正則関数を特徴づける結果を得た．これらについては引き続き研究を行う．
次に，定義可能関数の位相的ラドン変換理論の研究について説明する．本研究では先行研究で取り扱えない部分の解決を目指して，定義可能関数の積分理論の見直しを行っている．2019年度はその準備として既存の積分理論に対して理解を深めた．これは新しい成果ではないが，この知見元に今後定義可能関数の新しい積分理論の構築を行う．また，応用についても，2019年度はその準備として既存の理論に対する理解を深め，具体例の計算を行った．これらは今後発展させる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2019年度は，中心的な研究課題である，旗多様体間の位相的積分変換理論，定義可能関数の位相的積分変換理論の理論構築について，大きな進展は得られなかった．当初から2019年度は具体例の構成をはじめとした準備的な研究を行う計画であった．その意味では，2019年度は新しい知見も多く得られ，準備的な研究は順調に進めることができた．当初の計画とは異なるが，新しい方向性を見出すこともでき，これらの準備的な研究も順調に進めることができた．どの課題についても発展性が見込まれ，今後引き続き研究を行う計画である．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，2019年度に得た知見をさらに発展させる計画である．アフィングラスマン多様体の構成可能関数の位相的ラドン変換の像の特徴づけについて幾何的な考察を活かしてこれまでの計算の精密化を行う．また，特異点をもつ双複素関数の特徴づけについて幾何的な考察を活かして引き続き研究を行う．定義可能関数の位相的ラドン変換の研究について新しい積分理論の構築を目指す．応用の研究について計算機および計算ソフトウェアを活用して例の計算を効率よく行う．一般的な状況で結果が得られない場合には，すでに得られた具体的な状況についてより詳しく調べる．
研究を円滑に進めるために，特異点論，超局所解析，積分幾何をテーマとした国内外の研究集会，セミナーに参加し，研究成果発表を行うとともに研究者とディスカッションを行ったり，国内外の研究者を招聘し研究講演会，セミナー，ディスカッションを行い見識を広げ問題の解決にあたる計画である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年2,3月に参加予定の研究集会への出張旅費および，2020年3月に主催予定の研究集会における招聘旅費等に研究費を使用する計画であったが，COVID-19感染拡大防止のためにすべてキャンセルとなり，未使用額が生じた．今後開催される研究集会への参加出張旅費に使用する計画である．これらにも参加できない場合には，計算機環境の向上のための費用に使用する計画である．
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