| 研究課題/領域番号 |
19K03529
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
松井 優 近畿大学, 理工学部, 教授 (10510026)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 構成可能関数 / ラドン変換 / 超局所解析 / 特異点論 |
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| 研究実績の概要 |
構成可能関数のラドン変換は，位相的オイラー数を測度にもつ積分論における，代数的な背景を持つ関数の，幾何学的な積分変換である．本研究では，これまで主にコンパクトグラスマン多様体間で行われてきたこの積分変換について，扱う多様体や関数のクラスを一般化し，さまざまな位相的ラドン変換について，特に反転公式と像の特徴づけを中心に考察を行う．また，これらの位相的積分変換の様々な応用についても研究を行う．2021年度は，2019年度，2020年度に得られた知見を元に，具体例の構成，双複素関数の性質の解明，定義可能関数の積分理論の見直しについて研究を行った．
まず，構成可能関数のラドン変換の研究について説明する．元々の研究課題であるアフィングラスマン多様体や旗多様体における積分変換について新たな知見は得られなかったが，2021年度は2019年度から新たな方向性への拡張に向けて進めていた双複素環上の解析学や幾何学について研究を行い結果を得た．2021年度は，双複素正則関数の層のコホモロジー的性質について研究を行い，すでに定義されていた双複素超関数について基本的な性質を証明した．また，双複素リーマン球面および双複素グラスマン多様体について考察した．これらは複数の異なる定義が考えられ，一つ一つについて積分変換の拡張を考察した．これらについては引き続き研究を行う．
次に，定義可能関数の位相的ラドン変換理論の研究について説明する．本研究では先行研究で取り扱えない部分の解決を目指して，定義可能関数の積分理論の見直しを行っている．2021年度は定義可能関数のスティルチェス型積分について考察した．その過程において，共同研究によりスティルチェス積分を用いた制約付き合成数の分布の漸近公式を新たに証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2021年度は2020年度と同様に研究集会を含む研究交流の機会が少なくなり，当初計画していた研究活動を行うことがあまりできなかった．2021年度もさまざまな環境の変化があり，中心的な研究課題である，旗多様体間の位相的積分変換理論，定義可能関数の位相的積分変換理論の理論構築について，大きな進展を得ることができなかった．一方で，当初の計画とは異なるが，関連するテーマとして研究を進めていた，双複素数環上の解析学や幾何学，スティルチェス積分による合成数分布の研究についてはいくつもの新しい結果が得られた．今後新しい研究環境に適応し，2019年度，2020年度，2021年度に得られた知見を元に，問題の解決にあたる計画である．
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| 今後の研究の推進方策 |
2019年度，2020年度，2021年度に得た知見をさらに発展させる計画である．アフィングラスマン多様体の構成可能関数の位相的ラドン変換の像の特徴づけについて，幾何的な考察を活かしてこれまでの計算の精密化を行う．また，双複素数環上の解析学および幾何学について，積分変換の詳しい性質を調べる．定義可能関数の位相的ラドン変換の研究について，新しい積分理論の構築を目指す．応用の研究について計算機および計算ソフトウェアを活用して，具体例の計算を効率よく行う．一般的な状況で結果が得られない場合には，すでに得られた具体的な状況についてより詳しく調べる．
研究を円滑に進めるために，特異点論，超局所解析，積分幾何をテーマとした国内外の研究集会，セミナーに参加し研究成果発表を行うとともに，研究者とディスカッションを行ったり，国内外の研究者を招聘して研究集会，セミナー，ディスカッションを行い見識を広げ問題の解決にあたる計画である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究の申請時における研究計画では，研究費を国内外への研究集会等への参加出張旅費や研究集会の開催における国内外研究者の招聘旅費に使用するとしていた．新型コロナウイルス感染拡大の影響で，2020年度と同様に2021年度の国内外の研究集会もキャンセルまたは多くがオンライン開催となり，参加のための旅費や参加費として研究費を使用することはほとんどなく，また開催予定の研究集会も中止となった．現時点では，状況が好転した際に対面で開催される研究集会等への参加出張旅費に研究費を使用する計画であるが，オンライン開催が続き研究費を使用する機会が少ない場合には，計算機などの研究環境の整備費用として研究費を使用する計画である．
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