| 研究実績の概要 |
C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)について，一行型と一行型の積を二行型で展開する明示公式（Pieri公式）はLassalleによって得られている．我々はC型的退化koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型で展開するPieri公式の予想式を構成していた．本年度は準備中の論文において，パラメタをa=t^1/2, c=(qt)^1/2と特殊化して得られるC型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)の場合について，その予想式の証明に至った．
Koornwinder多項式，特に本年度我々が扱っているC型Macdonald多項式は，一行型のものは，ある生成母関数の展開係数として定まる対称Laurent多項式G(x)を用いて構成され，一列型のものは，同様にして定まる対称Laurent多項式E(x)を用いて構成されることが先行研究において分かっている．我々は昨年度，鈎型C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)をG(x)とE(x)の積で展開した明示公式を，鈎型koornwinder多項式が満たす核関数関係式を用いることで証明していたが（核関数関係式の証明には，我々が構成したKoornwinder作用素のFock表示を利用した），その結果と，G(x)とE(x)の積が満たす非自明な線形関係式やbibasicなq-超幾何級数の和公式，principal specializationと呼ばれるMacdonald多項式の特殊値の計算等を主に用いることにより，上記のPieri公式を証明するに至っている．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
C型的退化Koornwinder多項式やC型Macdonald多項式について，昨年度までに次の予想式を記述した．
１．鉤型C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)を，G(x)とE(x)の積で展開した明示公式
２．C型的退化Koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型の もので展開したPieri公式
昨年度は１．を，今年度は２．のパラメタを特殊化したC型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)についての証明を与えており，パラメタを特殊化しない予想式の証明へ向けて，準備が進んでいると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
C型的退化Koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型で展開係数するPieri公式は，本年度証明したPieri公式の拡張となっており，その証明を与える．そのためには，G(x)とE(x)の積が満たす，パラメタa,cを含む非自明な関係式を構成する必要があり，現在，その構成が進行中である．
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