| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続きSPT(symmetry protected topological phase)相の研究を行った.物理系の時間発展はハミルトニアンと呼ばれる自己共役な作用素により与えられる.SPT相というのは, 基底状態（最低固有値状態の固有ベクトル）にギャップのあるハミルトニアンのうち,(自明相とギャップを保ちながら繋がっているという意味で) short range entanglementをもち.与えられた対称性を満たすものの分類である.二つのハミルトニアンは,対称性を保ちながら移り合う時同値とみなす.今年度は一次元フェルミオン系におけるSPT相の分類問題を考え、物理学者により予想されていたinvariantの存在を厳密に示した.さらに,2次元量子スピン系においても物理学者により予想されていたinvariantの存在を厳密に示した.
Lieb-Schultz-Mattis type theorem というのは, ある種の条件のもと, 「基底状態でスペクトルギャップが開いている」という状況は起こり得ない,という,本研究テーマと深く関わる定理である.これまで, 連続群についてはLieb-Schultz-Mattisをはじめとする数学的に厳密な結果が古くから知られていた. 一方有限群については,物理の論文で, MPSによる解析が知られていたが,数学的に一般の設定では知られていなかった. 以前田崎晴明氏との共同研究で, 一次元量子スピン系についてこれを行ったが今年度は田崎氏と立川氏との共同研究で新たな手法により新しい同種の結果を得た.
さらに,long range entanglement 相についても進展があった.Naaijkens氏と共に非自明なsuperselection sectorの存在が,long range entanglementの存在を意味することを示した。
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