| 研究課題/領域番号 |
19K03539
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
山上 滋 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90175654)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | Daniell integral / state functional |
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| 研究実績の概要 |
昨年度末からの新型コロナウィルス対応のため、実のある討論がほとんでできず、やりくりに苦労した１年であった。
様々な領域が交錯する研究テーマということもあり、その影響の大きさは予測できたため、先端部分の開拓を一時休止し、基礎的な諸問題の整理と位置づけに努めた。具体的には、非可換積分論の基盤である作用素環（とりわけフォン・ノイマン環）における順序構造の積分論において果たす役割を掘り下げ、古典的な収束定理の成り立つ仕組みを精査し、積分対象を押さえ込み級数表示により同定することができた。
これは積分の完備化を最も直接的な方法で記述することを可能にするだけでなく、有用な定理の成果を部分的に取り込むことで、全体の理論構成に対する見通しを格段に良くするものである。例えば、直積測度の構成において、従来の方法だと単調族等の手法による拡大が避けられなかったところが、押さえ込み級数表示の方法だと定義から即座に積分の拡張が見通しよく得られる。
このことは、対称性の変容の根本を成すと思われる無限自由度の古典的類似物である無限直積測度の構成においても威力を発揮するものであり、マルコフ写像の積分分解の雛形からその完備化した形が直接的に得られる。
それは古典的積分論の枠組みにとどまるものでなく、作用素テンソル圏の上の正汎関数にも適用可能であり、研究テーマの方向性とも合致し、それを下支えするものとなっている。このことは、量子状態を記述する汎関数の解析においても威力を発揮することが期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
一時的に研究の下支えの整備に時間を費やしたため、進捗状況という点では遅れ気味であったが、
対称性変容のための基礎的な事実である群拡大の表現とテンソル圏との関係が再認識できたことは次への手がかりとして幸いであった。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、Poincare 群のテンソル圏への埋め込みとして、エネルギー・運動量表示と Lorentz 群作用を取り上げ、それの収まる解析的な枠組みを整備する。
次に、無限自由度の環境系と有限自由度系の関わり合いを記述するための道具として完全正写像の理論をテンソル圏の言葉で書き直す。その上で無限自由度系における
scaling flow による熱力学的安定性により古典力学的状態量に対称性が転写される様子を記述する。
最終的には環境としての時空の幾何学が再現されるプロセスの仕組みを解明する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスへの対応のため、予定していた研究会等への対応ができなかったため。
今年度も同様の状況であり、資料およびネットワークを含む研究設備面での充実を図り研究の遅れを取り戻したい。
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