| 研究課題/領域番号 |
19K03539
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
山上 滋 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 名誉教授 (90175654)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Stieltjes transform / state functional |
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| 研究実績の概要 |
今年度は、研究期間を延長した１年目ということで、研究のための交流が復活はしたものの未だ十分ではない状況の下、解析的というよりは、代数的なテンソル圏による対称性の準備作業を多く行った。
具体的には、内部対称性の典型的な系統であるA型の単純リー環に付随したテンソル圏の構造を Kazhdan-Wenzl に沿って再検討した。その中で、テンソル圏の構成がなされているのであるが、Schur-Weyl 型定理に基づく同型構成において、変形パラメータの入れ方に不整合なところが見つかり、その修正に多くの時間を費やした。また、外部対称性というべきポアンカレ群の表現の作る圏において、既約表現のテンソル積の積分分解を物理的表現以外にも押し広げ、表現のパラメータが複雑に関与する様子を観察した。その結果、群の表現によるテンソル圏を基礎に据える困難さを実感した。
他に前年度末に上梓した積分論で展開した手法をさらに推し進めるべく、より初等的部分との接続を改めて整備した。これは、前年度にまとめた半円分布のずらし操作を実現可能にするStieltjes 変換への直接的アプローチともつながるもので、コーシー・リーマン式への批判から考案された方正関数の手法と異なり多変数関数でも有効な方法となっている。
具体的には、開集合上の連続関数の広義積分で絶対収束するものを対象に、押え込み総和表示を駆使することで初等広義積分をルベーグ積分に効率よく移行させるものである。それは単に理論的整備にとどまらず、実用的な面でも効力をもつもので、余面積公式と積分の発散定理の間に密接な関係が可能であることも判明した。このこと自体は目新しいものではないが、発展の可能性を示唆するものである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
多少の改善は見られたものの昨年度に続き、新型コロナウィルスに伴う行動制限により、研究情報のやりとりが十分できず、残念ながら遅れている。
しかしながら、群論による対称性の記述の限界を確認することができたこともあり、それを手がかりにできるところまでは進められたものと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究期間の再延長申請が認められたので、研究テーマの実現に向けて、可能な限り試みていきたい。
まずは、群とその双対構造をテンソル圏の枠組みの中で実現し、とくに量子系における環境パラメータの変化に伴う構造の変容を数学的に定式化する。
その上で、有限自由度系に備わる対称性が無限自由度の環境系にいかに投影されるかについて見極める。
とくに、ポアンカレ群に関連したテンソル圏が、時空の対称性に反映される仕組みの解明を試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルスの影響で、研究情報の交換に係る経費が執行できず、そのための残額である。
幸い、状況は改善へと向かいつつあるため、遅れの生じた部分も含めて各種研究会への対応、情報発信のためのネットワーク環境の整備に使用していく予定である。
これが最終年度となるため、目標達成もさることながら、これまでに得られた成果をまとめ公開する部分にも充当していきたい。
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