|
近年、工学、情報幾何学、量子情報理論などの分野の作用素論的な枠組みの構築の密接な関連の必要性が喫緊の課題として挙がっているが、情報幾何学や量子情報理論におけるさまざまな幾何学的内容は、ヒルベルト空間上の作用素の枠組みの中では、必ずしも具体的に明らかになっていない。また、行列や作用素の文脈での様々なエントロピーやダイバージェンスなどの評価を中心とした研究も進んでいるとは言えない。
本研究では、これまでに、この課題に取り組むために、2変数版の作用素ノルムを用いたAndo-Hiai型不等式の多変数幾何平均への拡張とその応用について、一定の成果を得え、さらに、量子情報理論におけるTsallis相対エントロピーの諸性質を解明し、非可換版の幾何平均の様相をノルム不等式の枠組みで明らかにした。藤井-亀井による量子相対エントロピーの1変数拡張版を導入して、2つのパラメーター間の関係を導くことができた。
さて、統計的な観点から、その量子化として、トレース１の正定値行列、即ち、密度行列のなす微分可能な多様体の構造解析は極めて重要である。量子情報幾何学における正定値行列全体のなす微分可能多様体上の2点間の分離度を測るための指標として、量子Renyiダイバージェンスが様々な観点から提案されているが、日合により定式化された量子Renyiダイバージェンスを私たちがこれまでに研究をしていた非可換幾何平均の考えをもとに再構築し、そのダイバージェンスとしての性質を調べ、そのほかの量子Renyiダイバージェンスとの関係について、Mond-Pecaricの手法より、そのスペクトルの最大値と最小値を用いて、評価することができた。これにより、密度行列全体のなす多様体上の幾何構造についての考察がさらに深まると考えている。
|
