| 研究課題/領域番号 |
19K03546
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
澤野 嘉宏 中央大学, 理工学部, 教授 (40532635)
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| 研究分担者 |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
岡田 正已 東京都立大学, 理学研究科, 客員研究員 (00152314)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | モレー空間 / 補間理論 / コンパクト性 |
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| 研究実績の概要 |
モレー空間の複素補間について，いくつかの結果を得た。モレー空間とL∞との中間空間とはならない空間を考えることが肝である。実際に，モレー空間とL∞との中間空間については補間空間を具体的に記述することは既存のモレー空間で可能だからである。この方向の研究として，以下のいくつかの結果を得た。１）このモレー空間とL∞との中間空間から外して考えるという着眼点に立脚して、分数べき積分作用素の有界性を精製した。この研究についてはY. Sawano and S. Sugano, Complex interpolation and the Adams theorem, Potential Anal. 54, no. 2, 299--305 (2021)として公表済みである。２）分数べき積分作用素とBMOの生成する作用素の有界性を上記の着眼点に立脚して考察した。１）との決定的な違いは，BMOの特異性により１）で用いたモレー空間は使えないので，代わりに第二種オーリッツ・モレー空間を使用することになった点である。ただし，コンパクト性についてはある程度の段階まで行くと，１）と同じモレー空間を使えたことは新鮮な発見であった。３）バナッハ束の複素補間を計算する計算公式と，特にモレー空間同士を複素補間する計算公式を見つけた。この公式のうち前者は上述の１）と２）で得られた研究成果において使用されている。また、変動指数ルベーグ空間の研究から，作用素自体をパラメータ付けして考えることにより，モレー空間における有界性を示す別の方法が見つかったことである。この研究については論文として投稿している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
後述する通り，研究で得られた副産物はいろいろな方向に活用されており，決して研究が無意味であったとはいえないが，コンパクト予想を解く手がかりを得るには至っていない。コンパクト性を有する作用素と複素補間の関係についてはよく分かったが，非コンパクトな作用素の例がうまく見つけられていない。どうしても考えてみたいのは，モレー空間を(Θ,∞)レベルで実補間することで，これにより今まで得られた結果との関係を調べたいが，実補間は思いのほかに難しく，有効な解決策が見つかっていない。（他方で，複素補間については計算公式が得られているので，ある程度わかってきた）
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| 今後の研究の推進方策 |
上述の通り，研究は遅れているが，実補間を研究していくことにより，ローレンツ空間を用いることで、endpoint caseと呼ばれている比較的難し目の偏微分方程式の解の存在，一意性を示すことができることが分かってきた。今後は，今まで得られた研究成果が応用に耐えうるかの検証を行っていくこととする。実補間とベゾフ空間については拙著「Theory of Besov spaces」にあるように密接な関係がある。実補間について本研究で考案したことがいろいろな方向に発展して，例えば，Toru Nogayama and Yoshihiro Sawano, Maximal regularity in Morrey spaces and its application to two-dimensional Keller--Segel systemとして投稿済みである。また，さらに補間を応用してローレンツ空間などを用いてKeller--Segel方程式を解析することを計画している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナ禍により，実際に多くの研究集会がオンライン化したために、交通費を使うことがなくなった。オンライン化のために，ipadなどを増備する必要が生じたので、その必要経費に充てたい。
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