| 研究課題/領域番号 |
19K03547
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| 研究機関 | 工学院大学 |
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研究代表者 |
熊ノ郷 直人 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 教授 (40296778)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 解析学 / 関数方程式論 / 経路積分 / 擬微分作用素 / 数理物理 / 確率論 |
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| 研究実績の概要 |
2019年度の研究成果により、環状型（トーラス型）の変数係数高階放物型方程式に対する基本解を、環状型の相空間経路積分に対する時間分割近似法で構成できることが保証できた。2020年度は研究計画に従い、環状型の変数係数高階放物型方程式の基本解の構成で用いた計算方法を一般化し、できる限り一般的な汎関数に対して、環状型の相空間経路積分に対する時間分割近似法が、位置変数と運動量変数に関して広義一様収束するように、汎関数に条件を加え、汎関数の集合を構成していった。詳細について述べる。環状型の擬微分作用素は、位置変数に関する積分と運動量変数に関する無限和で定義される。このため、環状型の変数係数高階放物型擬微分作用素に対する相空間経路積分の時間分割近似法は、大きな次元の位置変数に関する多重積分と運動量変数に関する多重無限和になる。ユークリッド型の擬微分作用素の多重積に関する評価の証明に従って、この多重積分と多重無限和を、定数の次元乗で評価できるような被積分汎関数の条件を求めた。環状型は、位置変数の多重積分は周期性を利用して部分積分を繰り返すことができるが、運動量変数の多重無限和は、微分が使えない（差分となる）制約があった。次に、ユークリッド型の大きな次元の停留位相法の剰余項の評価の証明に従って、この多重積分と多重無限和の主部と剰余項を、次元によらない定数で評価できるような被積分汎関数の条件を求めた。証明においては、汎関数が区分的に定数な位置経路と区分的に定数な運動量経路に対する汎関数であることを利用した。さらに、時間分割の幅がゼロに近づくとき時間分割近似法が位置変数と運動量変数に関して広義一様収束するような被積分汎関数の条件を求めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2020年度の目標は、2019年度に変数係数高階放物型方程式の基本解を環状型の相空間経路積分の時間分割近似法で構成した計算方法を一般化していき、環状型相空間経路積分に対する時間分割近似法が位置変数と運動量変数に関して広義一様収束する、できるだけ一般的な汎関数の集合を構成していくことであった。広義一様収束する汎関数の集合を構成するところまで進んでいるので、研究実績としては、順調にして進展していると言える。しかし、COVID-19の影響より、今後の相空間経路積分としての理論の構成や偏微分方程式への応用を考える上で重要となる、他の研究者との研究連絡やこれまでの成果発表が、十分にできていない点で不満がある。
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| 今後の研究の推進方策 |
2020年度は2019年度に得た環状型（トーラス型）の変数係数高階放物型方程式の基本解を環状型相空間経路積分に対する時間分割近似法で構成した計算方法を一般化し、できるだけ多くの汎関数に対し、環状型相空間経路積分の時間分割近似法が位置変数と運動量変数に関し広義一様収束する汎関数の条件を求めた。2021年度は、この汎関数の条件を、数学的な演算の美しさの観点から、和や積、経路の平行移動や線形変換、汎関数微分などの演算のうち、できる限り多くの演算に関して閉じた条件に書き直し、その条件で汎関数の集合の定義していく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルス（COVID-19）の影響により、2020年度に予定していた擬微分作用素や偏微分方程式に詳しい研究者との研究連絡や、これまでの研究成果について国際会議や研究集会での発表ができかった。今後、環状型の相空間経路積分の一般理論の構成や環状型の偏微分方程式への応用を考える上で、研究連絡や研究発表は鍵となってくる。COVID-19が収まったあとのなるべく早い時期に、これらの研究者と研究連絡や研究発表をする予定である。
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