マルコフ過程に対する処罰問題の研究

2021 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 19K03551
• 研究機関: 京都産業大学
• 研究代表者: 矢野 裕子 京都産業大学, 理学部, 教授 (10337462)
• 研究期間 (年度): 2019-04-01 – 2024-03-31
• キーワード: 処罰問題 / マルコフ過程 / 拡散過程 / レヴィ過程

研究実績の概要

マルコフ過程，特に一次元拡散過程及び一次元レヴィ過程に対する処罰問題を通して，処罰問題の構造，更には確率過程そのものの構造を探ることを目的としている．2021年度は主に，重み汎関数に応じた極限測度に関する研究，特に一次元拡散過程に対し，重み汎関数を最大値過程とする場合の処罰問題を考察した．また，離散時間マルコフ連鎖のマルチン境界について考察し，マルチン境界に対応する調和関数について調べ，この結果を処罰問題に応用することを検討した．
１．矢野孝次氏(京都大学)及びC. Profeta氏(フランス・イヴリヴァルデソンヌ大学)との継続している共同研究において，一次元拡散過程に対する処罰問題，重み汎関数がその最大値過程である場合を，昨年度に引き続き考察した．Roynette-Vallois-Yorによる初期の研究(2006)でもそうであったように，重み汎関数を局所時間にとる場合と最大値過程にとる場合とではアプローチの方法が異なる．また，Yano-Yano-Yorで行った一次元レヴィ過程に対する研究(2009及び2010)では，重み汎関数の違いで劇的に異なる結果が得られていた．これらの研究蓄積を念頭に置き，重み汎関数を最大値過程にとる場合について，固定時刻の代わりに指数時刻等を用いる処罰問題の研究の解決を試みた．また，極限測度を特徴付けるマルチンゲールについて，併せて研究を進めている．
２．弓手海都氏(京都産業大学大学院)との共同研究において，離散時間マルコフ連鎖のマルチン境界について考察した．特に，出生死滅マルコフ連鎖及びマルチレイ上の出生死滅マルコフ連鎖のマルチン境界とそれに対応する調和関数を具体的に求めた．求めた調和関数やマルチン境界に対応する調和関数の処罰問題への応用について，現在も考察を進めている．

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

上述「研究業績の概要」の共同研究は，小さな成果はあるものの論文公表に至る成果が得られておらず，現在も考察を継続中である．大学における通常の業務と育児がある中で，問題解決のアイデアはあるが緻密な計算を行うことや議論をするための十分な纏まった時間を取ることがそもそも難しい状況にあり，加えてコロナ禍で研究打ち合わせのための出張が困難な状況のため，研究の進捗はやや遅れていると言える．しかしながら，困難な状況下でもオンラインの打ち合わせ等で地道な成果を重ねている．

今後の研究の推進方策

１．一次元拡散過程の最大値過程に関する処罰問題の解決を目指す．今後もオンラインでの研究打ち合わせを継続する予定である．
２．一次元安定過程及び一次元拡散過程に対する滞在時間に関する処罰問題を考察する．
３．L. Chaumont氏(フランス・アンジェ大学)との共同研究において，正の跳びを持たない自己相似マルコフ過程の初到達時刻に関する研究を進める．その応用として処罰問題も考察する予定である．

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由は，新型コロナウィルスの蔓延により学外出張を行うことが全く出来なかったためである．繰越金は，出張可能な場合には出張旅費として使用するが，今後も出張は困難な状況が予想されるため，その場合には物品(オンラインでの研究打ち合わせに必要な備品及び用品)，書籍及び消耗品の購入に充てる．