| 研究課題/領域番号 |
19K03552
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| 研究機関 | 関西大学 |
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研究代表者 |
上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
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| 研究分担者 |
富崎 松代 奈良女子大学, その他部局等, 名誉教授 (50093977)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Dirichlet 形式気 / ジャンプ拡散過程 / 均質化問題 / 特異な Levy 測度 / 退化する Levy 測度 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は，指数をもつ対称安定過程のLevy測度に，原点及び無限遠において退化，または発散する密度を持つLevy測度に対応するマルコフ過程を構成することに成功した．特に退化したり，発散したりする（密度関数の）速さに応じて特徴づけられることが分かった．また，大域的性質（再帰性・過渡性，保存性）及び，局所的性質である，一点集合への到達確率について，密度関数の退化・発散の度合いに加えて，もとの指数の条件で導出することが出来た．原点における退化・発散の度合いは大域的性質には影響しないことが分かった．
また，Dirichlet 形式の均質化問題についても検討を行った．基礎となる参照 Dirichlet 形式が過渡的である条件の下で，拡散係数列，飛躍測度の係数列が有界であれば，そこから部分列が存在して，Dirichlet 形式が弱収束することを示すことが出来た．さらに，拡散係数列，飛躍測度の係数(密度関数)列に周期性を仮定することにより，部分列ではなくすべての列の収束性，とくに Mosco 収束を得ることが出来た．これは，対応するマルコフ過程の有限次元の収束と同値である．そうして，密度関数に適切な可積分性を課すことにより，マルコフ過程の緊密性が得られることを確認できるので，マルコフ過程の弱収束を結論付けることが出来る．しかも，拡散係数の極限はコレクターと呼ばれる関数を用いて，調和平均に相当する定数が極限に現れるのに対して，密度関数は，平均そのものが現れることが分かり，拡散と飛躍の極限の現れ方が全く異なることが分かった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２階の楕円型偏微分作用素である局所作用素を生成作用素として持つものは対称拡散過程であるが，拡散係数が，退化もしくは発散する場合については，確率論だけでなく，偏微分作用素論においてこれまでにも詳しく研究がなされていた．それに対して，微分積分作用素である非局所作用素を生成作用素に持つ飛躍型マルコフ過程に対して，対応する係数が退化する，もしくは発散する場合についての研究はほとんどこれまでなされて来なかった．今回は，指数をもつ対称安定過程に対応するLevy測度に，そのような性質をもつ密度関数に対応する飛躍型マルコフ過程の構成と，経路の大域的性質について結果を得ることが出来たため，順調に研究は進んでいるといえる．
さらには，一般に Dirichlet 形式列が与えられたときに，それらが収束することの条件を，特別な場合であるが得ることが出来た．その際，Dirichlet形式の列が，基礎となる参照 Dirichlet 形式の，ある種の加法汎関数（列)として捉えることが出来る．そうして，極限関数を導出することができたことから，今年度は，その意味で，加法汎関数列の安定性を確認することが出来たといえる，
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は，退化，または発散する係数をもつLevy測度に対応するマルコフ過程の大域的性質について，より精密な結果を導出することを目指す．特に，確率過程の変換論の一つである，基礎の飛躍過程の時間変更過程との関係性についても併せて検討する予定である．
また，マルコフ過程，またはその加法汎関数の安定性についても，Dirichlet 形式の収束論の立場から捉え，均質化問題との関係性にも注意しながら，拡散係数及びLevy測度の密度関数の条件を通じて導出することを目指す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月に行った国際ワークショップにおいて，当初数人の日本人を招待していたが，世界的な コロナウイルスの感染の拡がりにより，出張がキャンセルされてしまい，滞在費として割り当てていた分が支出不可能となったため． その分は，来年度に開催予定に研究会での招待者に対する滞在費として支出を計画している．
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