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2019 年度 実施状況報告書

確率空間上の保測変換族に対する多重同時再帰性の定量的研究

研究課題

研究課題/領域番号 19K03558
研究機関筑波大学

研究代表者

平山 至大  筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50452735)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2022-03-31
キーワード多重同時再帰性 / エルゴード理論的結合
研究実績の概要

エルゴード理論や力学系理論において,もっとも基本的かつ重要な性質の一つに再帰性がある.例えば,確率空間上の保測変換に対するPoincare再帰定理は,任意の可測集合について,そのほとんど全ての点は変換の反復合成作用のもと,その集合に無限回戻ることを主張する.更に確率空間が距離を許容する場合には,その初期点の任意近くに無限回戻ることも主張される.これらの主張は可換な保測変換族が作用する場合の多重同時再帰性へと拡張され確立されており,現在も更なる拡張や他分野との関連などが活発に研究されている.本研究では,多重同時再帰性を定量的観点から行うことを目的としている.
本年度はまず,多重同時再帰性の定量的評価を行う準備として,上述した距離型Poincare再帰定理を,確率空間上の排反な保測変換族に対し確立した.ここに排反性は可換性と独立な性質である.またこの議論の副産物として,多重エルゴード平均の二乗平均収束を導いた.この収束は可換な保測変換族に対しては知られていたが,本研究の成果により(可換と限らない)排反な保測変換族に対しても拡張されたことになる.さらに,可換な保測変換族の場合には一般に極限が明示的に表示できないのに対し,排反な保測変換族の場合には極限が明示的に表示できることも明らかにした.以上は一般論に関わる研究である.
他方,いくつかの具体的な保測変換族について同時再帰時間の計算を進めた.その結果,再帰時間(の平均)の挙動に顕著な相違を見つけた.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

一般論に関する定量的評価そのものについての成果はないが,下準備となる主張を示すことはできた.またその議論から,いくつかの予期していなかった主張を示すことができた.具体例の計算から興味深い現象を見つけることができた.

今後の研究の推進方策

具体例で見つかった定量的相違点が生ずる原因を探究する.
一般論の展開においては,エルゴード理論的結合の手法を用いた拡大構成を利用すべく,まずは当該の手法について知見を深めたい.

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2019 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [国際共同研究] University of Maryland(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      University of Maryland
  • [国際共同研究] Dongguk University(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      Dongguk University
  • [雑誌論文] Bounds for multiple recurrence rate and dimension2019

    • 著者名/発表者名
      Michihiro Hirayama
    • 雑誌名

      Tokyo Journal of Mathematics

      巻: 42 ページ: 239--253

    • DOI

      10.3836/tjm/1502179281

    • 査読あり
  • [学会発表] On Mobius disjointness for infinite measure preserving systems2019

    • 著者名/発表者名
      Michihiro Hirayama
    • 学会等名
      Number Theory and Dynamics
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A remark on disjointness for L^2-convergence of multiple ergodic averages2019

    • 著者名/発表者名
      Michihiro Hirayama
    • 学会等名
      エルゴード理論とその周辺
    • 招待講演

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公開日: 2021-01-27  

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