| 研究課題/領域番号 |
19K03560
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
山本 征法 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (00600066)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 函数方程式 / 拡散方程式 / 時間大域挙動 / 空間大域挙動 / 特異拡散 / 空間非局所な作用素 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題で扱うのは、時間発展する現象を記述するモデルのうち主に空間方向の拡散・伝播の構造に特徴を持つものである。よく知られているものに粘性流体の流速や渦度を記述するNavier-Stokes方程式などが挙げられるが、本計画では最初にNavier-Stokes方程式の解の時空構造の研究に取り組んだ。その結果、解の漸近展開に、時空遠方での構造が具体的な形で現れることが分かった。この成果については、既に査読付き学術雑誌に投稿した。Navier-Stokes方程式の解の時空に関する特徴は、解を積分方程式の形で書いたときに空間非局所的な作用素(具体的にはRiesz変換)として現れる。同様の特徴を持つ物に分数冪の拡散方程式がある。本計画では、分数冪拡散方程式の中でも特に質量保存則に基づくモデル方程式を取り扱う。初年度の研究では、分数冪移流拡散方程式の時間定常問題を滋賀県立大学の杉山裕介氏と共同で進めた。移流拡散方程式は元々半導体素子のシミュレーションモデルから導かれた物であり、半導体の物性に応じた定常状態が想定される。当該研究ではこの定常状態に相当する解の存在を示した。さらに正負の電荷の一方のみが存在する場合に、定常解の指数的な安定性を示した。即ち、定常解の近くに解を取った場合、その解と定常解の差は時間とともに指数函数的に減衰する。この成果についても査読付き学術雑誌に投稿した。以上の成果は当該研究計画に先立つ前年度までの若手研究(B)の内容を発展させた物である。さらに前年度に完了した研究計画では、ウィーン工科大学のF. Achleitner氏、A. Jungel氏と共同で、分数冪拡散方程式の解の時間大域挙動に確率論的な意味づけを行ったが、この結果には予想される最適な評価と比べてギャップが残されている。この課題を解消すべく、今年度の研究でも両氏との議論を継続した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当該研究費により、研究会・セミナーなど情報収集の場への参加が容易になったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
特異的な拡散や、その他空間非局所な作用素に由来する解の時空構造について明らかにすることが当該研究課題の主眼であるが、特に保存則に由来する方程式を研究する場合には、その確率論的な解釈が重要なヒントを与えることがある。当該研究課題が、前年度までの若手研究(B)から引き継いだ物に、ウィーン工科大学のF. Achleitner氏、A. Jungel氏との共同研究があるが、両氏との協力の最大のメリットは、エントロピー法や統計力学など確率過程を土台とした手法を取り入れたことである。今後の研究では、特異拡散方程式の解の時間大域挙動に対する研究に、確率過程や確率微分方程式の手法を取り入れて、これまでよりも精密な評価手法の確立を目指す。また、これまでの研究はSobolev空間などの古典的な枠組みで解を評価する物であった。他にBesov空間の枠組みを取り扱ったが、その過程で見えてきたのは、広範な函数空間で評価することにより、解を多角的に捉えることが出来るということである。今後の研究では、解の時空構造に相応の最適な函数空間の枠組みを模索する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末の国内出張3件を中止したため。また、計算機の導入を来年度以降に持ち越したため。
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