| 研究課題/領域番号 |
19K03562
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 准教授 (00360967)
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| 研究分担者 |
石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | 閾値型アルゴリズム / Willmore流 / 自己相似解 / 表面拡散方程式 |
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| 研究実績の概要 |
非線形4階放物型偏微分方程式として表される曲面の発展方程式の閾値型アルゴリズムについて研究を行った。線形4階放物型偏微分方程式の基本解(この解は必ずしも正値性をもたない)の時間に関するTaylor展開をもとにWillmore流の閾値型アルゴリズムの構成を分担者である石井克幸氏(神戸大学)とともに行った。前年度に閾値を導出していたが、アルゴリズムを考えるにあたって適切でない部分があったため再検討し、3次導関数の近似式に着想を得て妥当と思われる閾値を導出した。Willmore流によって運動が記述される曲面の形式的な近似アルゴリズムを得ることができたので、現在は収束性等について検討中である。
また、無限遠方に延びる平面曲線の運動が表面拡散方程式によって記述される場合の自己相似解について解析を行った。表面拡散方程式に対して自己相似変換を行い、係数に解の形状に関係するパラメータを含んだ非線形常微分方程式の境界値問題を導出し、その境界値問題の解の形状解析を試みた。 解析の対象となる常微分方程式は積分項(非局所項)を含んでおり、本質的に5階微分方程式の構造をもつ。その結果、以前に結果を得た進行波解の場合に比べ、方程式はより複雑な構造を有する(進行波解の場合は非局所項をもたない非線形3階常微分方程式)。この常微分方程式の解、導関数、および不定積分の零点と微分方程式に含まれているパラメータとの関係を解析し、パラメータがある特定の範囲にある場合に解が振動する形状をもつことを示した。現在はパラメータの範囲を延長した場合における零点とパラメータの関係について研究を進めている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
閾値型アルゴリズムについては、収束性を示すためには4階放物型偏微分方程式の可解性に対する基礎理論が必要であり、また比較原理が適用できないため、解析には新たなアイデアを要する。その結果、研究を進めるためには関連する文献の検討を含め十分な準備が必要であり時間を要している。
表面拡散方程式の自己相似解については、解析の対象となる非線形常微分方程式が非局所項を含み本的的に5階微分方程式の構造をもつため、以前に行なった進行波解の場合に比べ構造がより複雑で、解析に時間を要している。
以上が進捗状況がやや遅れていると判断した理由である。
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| 今後の研究の推進方策 |
閾値型アルゴリズムについては、引き続き分担者である石井克幸氏(神戸大学)とともに収束性について検討を進める。フェーズ・フィールド法による近似アルゴリズムとも関係していると思われるので、関連する文献を適宜検討し、収束証明に必要な理論の構築に努める。
表面拡散方程式の自己相似解については、解析の対象となる非線形常微分方程式に対して数値解析も行い、パラメータと零点の関係にある程度の予測を立てつつ、証明を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初は本研究計画に関連する研究者の招聘や、同研究者を訪問することで対面での研究打ち合わせを行い研究を進める予定であったが、新型コロナウイルス感染拡大の影響で国内外の出張を自粛したため、予定していた旅費の使用がなかった。本年度は感染拡大の状況を注視しつつ、対面での研究打ち合わせを適宜実施し、旅費を使用していく予定である。また、解析学、幾何学、応用数学に関連する書籍を計画的に購入していく予定である。
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