| 研究課題/領域番号 |
19K03567
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
新居 俊作 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50282421)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | Maslov Index / Stability Index / 相転移 |
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| 研究実績の概要 |
１、Maslov Index は空間次元が二次元以上の領域で考えると無限次元の対象を考えなければならなくなるが、特に(恒等作用素)+(コンパクト作用素) の形のユニタリ作用素が定めるLagrange Grassmann 多様体をFredholm Lagrange Grassmann 多様体と呼び、この無限次元多様体の基本群は整数環Z と同型であるり、その上の曲線により非自明なIndex を定めることができる。本研究では Neumann 境界条件を課した熱方程式に対して無限次元Maslov Index を用いることにより、所謂Hot Spot 予想と呼ばれる問題に関連した研究を、その位相幾何学的構造を明らかにすることを目標に行った。
２、Stability Index もやはり空間二次元以上では無限次元化しなければならなずMaslov
Index と同じ困難があるが、この上記と困難も同様の方法で解決された。
無限次元Stability Index無限次元Stability Index の理論は発表当時は理論先行で具体的な応用例に乏しかったが、近年の反応拡散系等の研究の進展によって応用できる可能性のある例が増えていおり、本研究でこのIndex の具体例への応用を行うための研究を行った。
３、本研究では相転移現象の数学的モデルとして無限格子上の結合常微分方程式系の研究を行っている。相転移の問題はこれまで主に解析的な手法を用いて研究されてきたが、本研究は与えられたポテンシャルに対する相空間内の等エネルギー超曲面の位相幾何学的変化が様々な熱力学的量の発散や不連続性の起源になっているのではないかと推測し、この超曲面の位相幾何学的な構造と相転移を関連付けることにより、相転移現象の幾何学的構造を理解しようというアイディアで行われた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画通りに概ね順調に研究が進んでいる。
特に、積極的に研究集会や学会に参加し最先端の研究情報が手に入ることは重要である。
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| 今後の研究の推進方策 |
新型コロナウイルス感染症の流行により、先が見通せな状況であり、特に今年度前半は研究集会や学会のほとんどが中止もしくは延期となり、最先端の研究情報入手に大きな支障となっている。
今後これがいつまで続くか不透明であり、本研究も当初計画より数ヶ月遅れになることもあり得る。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の流行により3月に予定されていた研究集会及が延期になり、そのために予定していた経費が未使用になった。
新型コロナウイルス感染症終息後に速やかに研究集会参加を再開し経費を使用する予定である。
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