| 研究課題/領域番号 |
19K03574
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
柳 青 福岡大学, 理学部, 准教授 (70753771)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 粘性解 / アイコナール方程式 / 測地距離空間 / 時間分数階偏微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
2020年度の本研究の成果は以下の通りである．
（１）距離空間におけるアイコナール方程式の可解性について考察し，新たな進展を得られた．近年，最適輸送やデータサイエンスなどの分野につながるため，一般の距離空間上の非線形解析に関する研究が注目されている．その基礎的な課題の一つとして，距離空間上のアイコナール方程式の可解性問題は関心を集めている．ユークリッド空間上の粘性解理論に基づいた2種類の解の概念がそれぞれGiga-Hamamuki-NakayasuとGangbo-Swiechの研究によって提唱された．しかし，これらの解がどのような関係なのかは知られていなかった．シンシナティ大学のN. Shanmugalingam氏と沖縄科学技術大学院大学のX. Zhou氏との共同研究では，完備測地距離空間において新たにMonge解の概念を導入し，最適制御の手法を用いて全ての解の概念が同値であることを明らかにした．この結果によって，今までの先行研究で確立された定式化及び定理などを全て統一することかできた．本研究の成果をまとめた論文は国際ジャーナルJ. Differential Equationsに掲載された．
（２）Caputo分数階時間微分をもつ発展方程式について研究を行い，新たな解の構成法を確立した．東京大学の儀我美一氏と三竹大寿氏との共同研究により，完全非線形発展方程式の離散化スキームを構築し，方程式の粘性解への収束を証明することに成功した．作成した論文は国際ジャーナルAsymptot. Anal.に掲載された．今後，その離散近似法に基づき，ゲーム論による解の表現定理の確立を目指す．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
距離空間上のアイコナール方程式に関する研究は当初予定していた内容ではないが，より一般的な問題設定のため，得られた結果がサブリーマン多様体にも適用できて，汎用性が高い．なお，考案したMonge 解の定義は通常の粘性解よりもシンプルであり，今後様々な関連研究への応用が期待できる．時間分数階方程式やゲーム論的手法などについても一定の成果を収め，全体としては順調に進んでいる．
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）サブリーマン多様体上の非線形解析について研究を続ける．ハイゼンベルグ群において連続関数の凸包を以前の研究で構成できたが，その正則性などさらなる性質を調べる必要がある．ハイゼンベルグ群の特殊な構造のため，ユークリッドの場合と同様な正則性は得られないと予想される．これまでの退化楕円型方程式の方法を生かし，凸包の微分可能性から考察する．
（２）一般の距離空間における偏微分方程式の研究も継続する．これまでの研究手法は距離空間上の無限大ラプラシャンにも適用することが最近発見したので，今後距離空間において無限大ラプラシャンの固有値と固有関数について考察し，グラフ等の具体的な空間の幾何学構造を探究する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の影響により，国内外の出張や研究者の招聘などが全て中止となった．生じた残額は，次年度の研究連絡に必要な物品購入の費用や国内移動再開後の出張旅費として使用する．また，研究論文をオープンアクセス化するための掲載費用等としても使用する．
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