| 研究実績の概要 |
1. 小さい穴をもつ２次元領域, 細い欠陥をもつ３次元領域におけるラメの方程式系の固有値問題を考察した. ２次元の円環領域における斉次方程式の解の無限級数形の表現公式を計算した. これはスカラーの楕円型方程式に対するポアソン方程式の解の計算に相当する. また,内径が微小になる極限におけるディリクレエネルギーの漸近公式を計算した. これにより小さい穴をもつ領域におけるラメシステムの固有値問題の各固有値の漸近的公式を, 従来から有用であったスワンソンの方法を用いて得た. さらに３次元の有界領域において固定された閉曲線の管状近傍として得られる集合を領域から取り除いて得られる細い欠損を持つ領域の同様の固有値問題を研究した.
2. 1. 同様の課題を流体のモデル方程式であるストークス系について取り組んだ. まず固有値の摂動公式を研究するための近似固有関数やそのための補正項の精密な計算を実行した. この近似固有関数を用いて1. と同様のスワンソンの方法を適用してまず２次元の領域において小さな穴のある領域での各固有値の摂動公式を計算した. 次に３次元の細いトンネル状の欠損をもつ領域の各固有値の摂動公式を得た. これは流体内に細い棒を差し込んだ際の流れを解析することに相当する.
3. 複数の細い柱状の領域を接合して構成される極端形状をもつ３次元の弾性体の変形や固有振動の方程式の解の構造を研究した. 特に各細い部材の断面が一方向に極端につぶれている場合の極限方程式を解析した.
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