| 研究課題/領域番号 |
19K03590
|
|---|
| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
|---|
研究代表者 |
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| キーワード | 安定解 / 非存在 / 劣線形項 / 最小エネルギー解 / 正値解 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本年度は次の研究テーマについて解析を行った：（１）分数冪ラプラシアンを主要項とするハーディー・ヘノン型方程式，（２）劣線形非線形項を持つ定数係数楕円型方程式，（３）シュレディンガー・ポアソン方程式，（４）非線形楕円型方程式の正値解の存在問題．
（１）本テーマでは，コンパクト集合を除き安定である解を考察した．扱っている解は変分法の考え方により特徴付けられており，安定解や有限モース指数を持つ解なども含むものである．今年度得られた結果は，非線形項と冪乗型係数の指数がジョセフ・ルンドグレン指数未満ならば，コンパクト集合を除き安定である解が存在しないことを示すことに成功した．
（２）本テーマでは，全空間上で定義され，劣線形非線形項を持つ楕円型方程式の最小エネルギー解の性質について考察した．特に定数係数の場合に集中し，解のサポートの性質，また劣非線形項の指数を０や１に近づけたときの最小エネルギー解の挙動や最小エネルギー値の挙動を明らかにした．今後は今年度解明した結果を用い，特異摂動問題について取り組んでいく．
（３）本テーマでは，非線形項の指数がポアソン方程式由来の項よりも小さい場合について考察した．特に３次元空間において，全空間上の問題を半径が有限な球の上の問題により近似可能かについて研究を進めた．今年度得られた結果は，もし有限な球の上の解の列が収束しないとすると，どのような挙動になるべきかを分類することに成功した．詳細についてはまだ検討が必要だが，全空間上の問題が球の上の問題で近似可能であり，今後は詳細の検討および多次元でも同様の議論ができないかについて考察する．
（４）本テーマで考察した方程式は１次元の場合，プッチ作用素を主要項に持ち非線形反応項を伴う方程式を含んでいる．このような方程式に対し変分法を用いて正値解の存在を示した．
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度得られた結果のほとんどは昨年度から本年度にかけて新たに発見した課題であり，当初予定した課題とは異なっている．しかし本年度得られた結果は，更なる興味深い研究課題へと導いてくれるものであり，次年度以降に取り組むべき研究課題が豊富になったと言える．このようなことから本研究課題は順調に進展していると言える．
|
| 今後の研究の推進方策 |
今年度得られた研究成果から発見した新たな研究課題を優先して取り組む．具体的には以下の通りである．
（１）ジョセフ・ルンドグレン指数以上の場合に取り組む．また本年度，ラプラシアンと分数冪ラプラシアンでは本質的に異なる状況が出てくる計算例を発見したのでこれについて精査，整理する．
（２）定数係数の場合の解析結果を踏まえ，特異摂動問題を考察する．特にポテンシャル関数の極大点に凝集するspike解の(多重)存在を研究する．
（３）本テーマでは，３次元以外の場合についても全空間上の問題が球の上の問題で近似可能かを考察する．特に６次元の場合，次元と非線形項の指数の関係により，３次元とは本質的に異なる状況が予想される．この予想が正しいのかどうかについて解明する．
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
３月に予定していたカナダ出張が新型コロナウイルスの影響により取りやめになったため，差額が生じた．本出張ついては，コロナウイルスの情勢次第だが，先方の研究者と予定を調整し，次年度に出張する計画を立てている．この他にも消耗品購入に加え，情勢次第だが，国内外の研究集会への参加，海外共同研究者の招聘の計画も考えている．
|
