| 研究課題/領域番号 |
19K03590
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | Joseph-Lundren指数 / 安定解 / 台が有界な非自明解 / 漸近挙動 / 光線の非存在 / 非自明解の存在 |
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| 研究実績の概要 |
以下の４つのテーマについて研究を行った: (A)分数冪ラプラシアンを伴う方程式，(B)劣線形反応項を持つ定数係数楕円型方程式，(C)Born-Infeld方程式，(D)1次元相対論的非線形シュレディンガー方程式．
(A) 本テーマでは，分数冪ラプラシアンとHardy-Henon型非線形反応項を伴う方程式の解の存在およびその性質について研究を行った．特に本年度は，安定解の層構造を非有界な解を含むものまでに拡張することに成功した．さらに安定解の存在，非存在に関わるJoseph-Lundgren指数と呼ばれる指数の性質についても前年度までに得られていた結果を拡張することができた．
(B) 本テーマでは，劣非線形反応項を伴う非線形楕円型方程式に対し，非負値解および非自明解の多重存在性を示した．また非負値解の性質(対称性，一意性，解の台が有界になる，解の漸近挙動)についても明らかにした．
(C) 本テーマでは，方程式に対応する変分問題の解が，方程式の弱解になるかについて解析を行った．本年度得られた結果は，2次元の場合，変分問題の解が方程式の弱解になることを示す上で非常に重要となる性質の１つ(光線の非存在)を示すことに成功した．また，外力の特異性のサポートが非常に小さい場合(Dirac delta の重ね合わせなど)，外力の特異性が変分問題の解に及ぼす特異性が非常に小さいものであることも示すことができた．
(D) 本テーマは，１次元という特性上，既存の研究の手法(スケーリングを土台にした手法)を直接適用できない状況になっている．この状況下において，非自明解の存在を示すことに成功した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Born-Infeld方程式の解析では，解の滑らかさについて当初想定したよりも困難な問題であることが判明した．特に変分問題の解が方程式の弱解となることを示すのも難しいが，その中でも２次元の場合，弱解であることを示す上で大変重要な性質である光線の非存在を示すことに成功した．その他の重要な性質については２次元という制限をかけずに示すことができた．これらを考慮すると本テーマについては順調に進んでいる．
非局所効果を持つ方程式の解析は，分数冪ラプラシアンを含む方程式と１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式について行った．分数冪ラプラシアンについては，先行研究を大幅に拡張することができ，Joseph-Lundgren指数についても繊細な性質を明らかにすることができた．相対論的非線形シュレディンガー方程式についても既存研究では扱うことができていなかった状況を扱うことができた．またここで用いたアイデアは他の問題に対しても有効ではないかと考えている．したがって本テーマについても順調に進んでいる．
劣線形反応項を伴う方程式の解析は新しく発掘した研究テーマであり，優線形反応項の場合と比べると解の性質が著しく異なることが既存の研究で知られている．その中でも劣線形項のべきを0に近づけたとき等の漸近挙動は新しく発見したことである．このように計画当初予期していない研究テーマについても成果が得られており，研究は順調に進んでいる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずBorn-Infeld方程式の解析については，想定していたよりも困難な問題であることが判明した．しかし，今年度の研究を通し判明した性質を踏まえると３次元以上の場合でも変分問題の解が方程式の弱解であることを示せるのではないかと考えている．
非局所効果を持つ方程式の課題については分数冪ラプラシアンを含む方程式や１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式について引き続き考察する．分数冪ラプラシアンを含む方程式については，今年度まで得ることができた結果と議論を用い，他の方程式に対しその技法を応用できないかを考察する．また１次元相対論的非線形シュレディンガー方程式については，非線形項に対する制約が強い部分があるので，ここを緩めることができないかを考える．また他の方程式に対し，ここで得られた手法が適用できないかについても考察する．
上で述べた課題以外にL^2制約条件を課した変分問題などについても解析を進めて行きたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の影響により，国内出張，国外出張ができず，旅費として研究費を使用できなかったため，次年度使用額が生じた．感染症の状況に依存し確定的ではないが，可能であれば国際共同研究および国際研究集会参加のための旅費(イタリア，イギリス，韓国等)として使用する．
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