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2020 年度 実施状況報告書

2点境界値問題の解の厳密な個数と分岐現象

研究課題

研究課題/領域番号 19K03595
研究機関東北大学

研究代表者

田中 敏  東北大学, 理学研究科, 教授 (90331959)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2022-03-31
キーワード楕円型方程式 / 球対称解 / 正値解 / 一意性 / 準線形 / 解曲線の長さ
研究実績の概要

非線形な微分作用素をもつ準線形楕円型偏微分方程式系の単位球における正値球対称解の存在について研究を行った。p-Laplace 作用素はべき乗の関数を含むものであるが、本研究ではそのべき乗関数の部分を、より一般的な関数である正則変動関数に置き換えた問題について考察し、過去の p-Laplace 作用素について得られた結果を完全に含む形で一般化することに成功した。
線形系において、小さな摂動に対しては解構造が変化しないという結果が様々得られているが、本研究では、ある準線形系に関してもそのようなことが成り立つことを示した。ある準線形楕円型方程式の球対称解が満たす方程式は、変数変換により、ここで扱った準線形系の摂動問題に帰着する。本研究の結果を応用すると、例えば、その準線形楕円型方程式の無限個の正値特異球対称解の存在なども証明することができる。
円環領域における楕円型方程式の正値球対称解の一意性について研究を行った。楕円型方程式の球対称解の一意性の証明では、もとの方程式の解と線形化方程式の解によるある種の恒等式が鍵となることが多い。本研究では、以前に研究代表者が発見した恒等式の一般化を行い、そこに現れる比較関数を巧妙に選ぶことにより、あらたな正値球対称解の一意性の結果を導くことに成功した。
ある種の2次元非自励系微分方程式系の原点に漸近する解の軌道の長さが有限長であるか無限長であるかについて研究を行った。原点に漸近する解はある意味で安定な解であるが、解軌道が短いほどより安定であると言える。解軌道の長さによって解の安定性を測る試みは最近始まった研究であり、未解決な部分が多い。本研究では解軌道の有限長と無限長の両方の判定法を導いているが、それらはある意味で鋭いものであり、特別な場合には、それらをあわせると解軌道が有限長であるための必要十分条件が得られる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

新型コロナウイルスの影響により、計画してた研究打ち合わせ、研究集会の開催及び参加がすべて延期になっている。従って、現在までの進捗状況は、当初の計画よりやや遅れていると言わざるをえない。

今後の研究の推進方策

今後は、double phase とよばれる非線形な微分作用素をもつ準線形楕円型偏微分方程式系の単位球における正値球対称解の存在について研究を行う。3次元単位球面上の楕円型方程式の正値解の多重存在性について研究を行う。一次元リウヴィル型方程式の正値解の分岐問題に取り組む。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルスの影響により、予定してた出張や国外からの研究者の招へいが延期となったため、次年度使用額が生じた。次年度でそれらを実施する予定である。

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2021 2020 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (4件) (うち国際共著 1件、 査読あり 4件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 2件)

  • [国際共同研究] Pontificia Universidad Catolica de Chile/Center for Mathematical Modeling(チリ)

    • 国名
      チリ
    • 外国機関名
      Pontificia Universidad Catolica de Chile/Center for Mathematical Modeling
  • [国際共同研究] University of Ulsan(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      University of Ulsan
  • [雑誌論文] Perturbations of planar quasilinear differential systems2021

    • 著者名/発表者名
      Itakura Kenta、Onitsuka Masakazu、Tanaka Satoshi
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 271 ページ: 216~253

    • DOI

      10.1016/j.jde.2020.08.024

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Uniqueness of positive radial solutions of superlinear elliptic equations in annuli2021

    • 著者名/発表者名
      Shioji Naoki、Tanaka Satoshi、Watanabe Kohtaro
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 284 ページ: 522~545

    • DOI

      10.1016/j.jde.2021.02.047

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Rectifiability of orbits for two-dimensional nonautonomous differential systems2021

    • 著者名/発表者名
      Onitsuka Masakazu、Tanaka Satoshi
    • 雑誌名

      Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations

      巻: 2021 ページ: 1~23

    • DOI

      10.14232/ejqtde.2021.1.18

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Positive Solutions for Systems of Quasilinear Equations with Non-homogeneous Operators and Weights2020

    • 著者名/発表者名
      Garcia-Huidobro Marta、Manasevich Raul、Tanaka Satoshi
    • 雑誌名

      Advanced Nonlinear Studies

      巻: 20 ページ: 293~310

    • DOI

      10.1515/ans-2020-2082

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Rectifiability and attractivity for two-dimensional nonautonomous differential systems2021

    • 著者名/発表者名
      鬼塚政一、田中 敏
    • 学会等名
      日本数学会 2021年度年会
  • [学会発表] On a perturbation theory for the planar quasilinear differential system and its application2021

    • 著者名/発表者名
      田中 敏、鬼塚政一
    • 学会等名
      日本数学会 2021年度年会
  • [学会発表] Perturbation of planar quasilinear differential systems and its application2020

    • 著者名/発表者名
      田中 敏
    • 学会等名
      東北大学 応用数理解析セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] 1次元 Henon 方程式の正値対称解のモース指数と対称性破壊分岐について2020

    • 著者名/発表者名
      田中 敏
    • 学会等名
      第4回 精度保証付き数値計算の実問題への応用研究集会 (NVR 2020)
    • 招待講演

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公開日: 2021-12-27  

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