| 研究課題/領域番号 |
19K03602
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
木原 貴行 名古屋大学, 情報学研究科, 准教授 (80722701)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 記述集合論 / 計算可能トポロジー / 逆数学 / 構成的逆数学 / 直観主義集合論 / ヴェブレン階層 / 整列擬順序 / 計算可能性理論 |
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| 研究実績の概要 |
当初の計画通り，まずは位相複雑度の《究極的解析》として知られる Wadge 理論の研究を行った．ベター擬順序 (BQO) 値ボレル可測関数の Wadge 次数構造に関する木原-Montalbanの同型定理を拡張し，還元を連続関数からボレル可測関数の各ランクに置き換えても対応する同型定理が成立することを示した．具体的には，第⊿_{α+γ}-可測関数の⊿_α-可測還元次数が第⊿_{β+γ}-可測関数の⊿_β-可測還元次数と同型であり，さらにこれらは可算整礎森の準同型順序の超限ヴェブレン階層のγに相当するレベルと同型であることが示される．これにより，零次元空間だけでなく，たとえばユークリッド空間などのような任意の完備可分距離空間上のボレル可測関数の構造もまた，可算整礎森の準同型順序の超限ヴェブレン階層化という構造を持つことを導く．
計算可能トポロジーにおいては，ポーランド空間の同相型の計算可能性（次数スペクトル）に関する様々な問題を無限次元トポロジー的アイデアを用いて解決した．特に，高次元球面の次元の学習アルゴリズムを構築し，low3で表現可能だが，いかなる計算可能な空間とも同相にならない完備可分距離空間を発見した．
構成的逆数学においては，一般Weihrauch次数から表現空間と実現可能関数の圏上のモナドを構成し，そのクライスリ射から得られるLifschitz実現可能性を得る一般的手法を構築した．これを用いて，直観主義集合論IZF上の非構成的原理の様々な分離定理を得た．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の計画における Wadge理論においてすら，想定を越える極めて一般的な同型定理を得られている．特に高次元空間における Wadge 理論の展開が可能であることを明らかにしたという点が極めて重要である．
また，想定外の結果として，計算可能トポロジーと構成的逆数学における結果も得た．計算可能トポロジーにおいては，ポーランド空間の同相型の次数スペクトルの理論の基本的手法を構築し，様々な問題を解決したという点で，想定を大幅に越えている．
構成的逆数学については，一般Weihrauch次数から表現空間と実現可能関数の圏上のモナドを構成を構成し，そのクライスリ射からLifschitz実現可能性を得られることに気づいたという点が大きい．これを利用して，統一的な方法で逆数学の分離手法が得られたというのは，構成的逆数学における大きなステップである．また，Weihrauch次数を用いて単に構成的二階算術体系のみならず構成的集合論の体系における分離手法を構築できるということは全く想像だにしていなかったことであった．
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| 今後の研究の推進方策 |
Wadge 次数の理論の第一の課題は，Louveauの定理をベター擬順序値関数に拡張することである．Louveauの定理は，記述集合論的手法を計算可能性理論に用いるための核となる道具であり，これをベター擬順序値関数に拡張することは意義深い．このために，Louveauの定理の証明を木の準同型順序のVeblen階層化に翻訳し，分析を行うことが基本的な方策である．
第二の課題は，ここまでに得られた結果のボレル可測でない関数への拡張である．ボレル可測でない関数の組合せ構造は現時点でほとんど知られていないが，射影決定性の下で，統制された組合せ論的構造が隠れていることは，これまでの研究より予想できる．これについては解析的な文脈での hyperjump inversion の分析から始める．
第三の研究として，構成的逆数学の分離手法をトポス理論的に整理することもまた重要な課題であり，これについても今後，理論的整備から進めていく．
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