| 研究課題/領域番号 |
19K03604
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| 研究機関 | 芝浦工業大学 |
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研究代表者 |
池上 大祐 芝浦工業大学, 工学部, 准教授 (20747208)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 数理論理学 / 集合論 / 巨大基数公理 / 無限ゲームの決定性 / 記述集合論 / 決定性公理 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では、自然数を一般化した無限の数（無限基数）と、チェス・囲碁・将棋といった２人でプレーするボードゲームを一般化した無限ゲームの関係について考察する。本研究は、北テキサス大学の Nam Trang 助教との共同研究である。
2020年度は、1) どのくらい強い巨大基数の存在下で、Chang モデルが決定性公理（AD, the axiom of determinacy）を満たすか、2) 「研究の目的」で述べた、巨大基数公理を満た
す集合論のモデルたちと決定性公理 AD を満たす集合論のモデルたちの間の既存の対応 (Derived Model Theorem) を Chang モデルに対して拡張できるか、の二点について調べた。
1) の問題は、ある Prikry-type 強制法（順序集合）Pが、ある組み合わせ論的性質Aを持つかどうかに帰着できることがわかった。現在、上記のPが、この組み合わせ論的性質Aを持つかどうかについて考察を続けている。
2) の問題は、巨大基数公理を満たす集合論のモデルからADを満たすChangモデルの構成の方向の対応が、上記のPとAの問題に帰着できることがわかった。逆方向の対応については、ADが成り立つときのChangモデルの更なる構造解析が必要で、来年度以降に着手する予定である。
本研究に関連して、集合論のモデル L(R) が AD を満たす特徴づけとして、L(R) 内で定義される HOD の基数構造を用いることができるか、という問いについても考察した。その結果、「L(R) 内で定義される順序数 Θ が HOD においてウディン基数である」という言明だけでは、L(R) が AD を満たすとは限らないことがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
2019年度終わりの計画では、2020年度以降に Chang モデルと Chang+ モデルの構造解析を進める予定だったが、「研究実績の概要」で述べた順序集合 P と組み合わせ論的性質 A の問題に時間がかかっており、Chang モデルと Chang+ モデルの構造解析にあまり着手できていない状態である。
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| 今後の研究の推進方策 |
2021年度は、「研究実績の概要」で述べた順序集合 P と組み合わせ論的性質 A の問題を考察する一方で、ω_1 が超コンパクト基数となっている場合の Chang モデルと Chang+ モデルの構造解析も同時に進めていきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2020年度は、コロナ禍においてほとんどの仕事を在宅勤務で行った。その結果、参加を予定していた多くの研究集会がキャンセルされたり、対面での参加を自粛したため、使用する予定だった旅費を全く使うことができなかった。次年度使用額が生じたのはそのためである。
2021年度は、ノートパソコンの購入など、物品購入を中心に、研究費を使う予定である。コロナの状況が良くなれば、国内・海外の出張も検討する。
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