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2019 年度 実施状況報告書

トロピカル数学とYoung盤の組み合わせ論の研究

研究課題

研究課題/領域番号 19K03605
研究機関東海大学

研究代表者

岩尾 慎介  東海大学, 理学部, 講師 (70634989)

研究期間 (年度) 2019-04-01 – 2023-03-31
キーワード対称多項式 / グロタンディーク多項式 / ボゾンフェルミオン対応
研究実績の概要

本研究は超離散可積分系と呼ばれる数学的対象を通して、可積分微分方程式(連続な世界のもの)と組み合わせ論(離散的な世界のもの)をつなぐことが目的である。先行研究においては、超離散KP方程式、すなわち微分方程式の情報を抽出した方程式と、Young盤の組み合わせ論にまつわるjeu de taquin, 行挿入などの組み合わせ論的な操作のつながりに着目し、重要な「整化の一意性定理(uniqueness of rectification)」の「意外な別証明」に到達した。
本年度はその内容を発展させ、未知の組み合わせ論的問題に本研究のアプローチが適用できるかどうかを研究した。これは具体的には「set-valued Tableauの組み合わせ論に古典可積分系の理論を応用できるか?」という問題にまとめられる。Set-valued Tableauは、旗多様体のK理論という代数幾何学的に興味深い世界から生まれた組み合わせ論の対象で、表現論や「グロタンディーク多項式」と呼ばれる特殊な対称多項式と深い関係がある。本研究ではグロタンディーク多項式に着目し、可積分系との関係に焦点を当てた研究を行った。本年度の成果は以下の通り「1.グロタンディーク多項式と、その双対対称多項式をボゾンフェルミオン対応を使って記述し、種々の行列式公式を得た」「2.C型のK理論的対称多項式をボゾンフェルミオン対応を用いて記述した」。
1,2、両方の結果について「ボゾンフェルミオン対応」が登場するが、これは数理物理の世界で汎用される代数的テクニックであり。この成果を通して旗多様体のK理論と可積分系の関係が明らかになると期待される。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本年度のテーマである可積分系と組み合わせ論の研究に対して、これに関わる論文を2編執筆し、1編は海外の論文誌に掲載が決定している。さらに現在もう1編の論文を執筆中であることを考えると、おおむね順調に進展していると考える。

今後の研究の推進方策

これまでの成果を踏まえて、今後は以下の問題に取り組みたい。「1.Set-valued tableauの数学を記述する超離散可積分系の発見。」「2.Set-value tableauの整化の一意性の証明。」
1に関しては、これまでの成果によりある程度の傍証・証拠は得られてはいる。しかし、肝心の超離散可積分系の発見(もともとの研究動機)には至っていない。2は、1の研究が完成すれば自然と想起される問題である。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウィルスの影響により、出張を予定していた国内研究集会(日本数学会年会)が中止になったため。使用されなかった金額は、次年度の出張費用に充てる予定である。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2020 2019

すべて 雑誌論文 (1件) (うち査読あり 1件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Grothendieck polynomials and the Boson-Fermion correspondence2020

    • 著者名/発表者名
      Shinsuke Iwao
    • 雑誌名

      Algebraic Combinatorics

      巻: 掲載決定 ページ: -

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] 超離散可積分系と Young 盤の組み合わせ論 (Shape Change Theorem)1・2・32019

    • 著者名/発表者名
      岩尾慎介
    • 学会等名
      2019年度函数方程式論サマーセミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Tropical KP and Young tableaux2019

    • 著者名/発表者名
      Shinsuke Iwao
    • 学会等名
      The XXVIth International Conference on Integrable Systems and Quantum symmetries
    • 国際学会
  • [学会発表] 可積分系と代数曲線とヤング図形の組み合わせ論2019

    • 著者名/発表者名
      岩尾慎介
    • 学会等名
      紀尾井町数理セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Tropical KP equation and Young tableaux2019

    • 著者名/発表者名
      岩尾慎介
    • 学会等名
      Workshop on Hamiltonian systems and Lie groups

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公開日: 2021-01-27  

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