| 研究課題/領域番号 |
19K03605
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
岩尾 慎介 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (70634989)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| キーワード | ボゾン・フェルミオン対応 / ヤング盤 / 対称関数 |
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| 研究実績の概要 |
通常の代数の仕組み（足し算・かけ算）を組み合わせ論的代数の仕組み（max演算・足し算）に置き換えることで構築される数学理論を、「トロピカル数学」という。組み合わせ論の分野で知られてきた様々な知識や結果を、トロピカル数学の視点から再構築し、新しい文脈からとらえなおすことで、新たな数学的知見をもたらすことができる。本研究では、組み合わせ論・対称多項式理論・表現論の分野で重要な「ヤング盤」と、ヤング盤にかかわる「組み合わせ論的操作」の問題をトロピカル数学を用いて解釈し、新たな分野を拓くことをテーマとする。
本年度は、トロピカル数学とかかわりの深い「超離散可積分系」の技法を、対称多項式理論と組み合わせた。旗多様体のK理論を記述するのに重要な「グロタンディーク多項式」と、関連する対称関数（双対グロタンディーク多項式・マルチシューア関数）の代数的な公式の導出や、組み合わせ論的な構成を行った。その結果、以下の成果を得た。
(i) 対称関数の一つであるマルチシューア関数の自由フェルミオン表示を得、それを利用してマルチシューア関数の展開公式を導出した。また、マルチシューア関数に「非可換シューア関数」が自然に作用することを証明し、「随伴作用素」の作用を組み合わせ論的にあらわす表示を得た。(ii) 標準グロタンディーク多項式の自由フェルミオン表示を得た。これを利用して、押し出し作用とブロック作用をもつTACEPの非可換シューア関数による解釈をえた。(iii) K-ホモロジーシューベルト計算で用いられる閉k-シューア関数が、k-カタラン関数を用いて記述できることを証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度には、本研究の目的に沿う以下(i), (ii), (iii)の成果を得ることができた。これらはそれぞれ査読付き学術論文として出版されており、おおむね順調に進展していると考える。(i) 自由フェルミオンとマルチシューア関数に関する研究。(ii) 自由フェルミオンと標準グロタンディーク多項式に関する研究。(iii) 閉k-シューアカタラン関数と、旗多様体のK理論的シューベルト計算に関する研究。
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度に引き続き、得られた研究成果の発表を実行する。現在、「K理論的ピーターソン同型」に関する新たな研究成果がまとまりつつあるため、学術論文として発表するための準備を進めている。加えて、海外国際研究集会でも講演発表を計画している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウィルスの影響により、2023年度計画されていた国内研究集会（神戸大学・名古屋大学）がオンライン開催に切り替わったため。2024年度は、研究成果発表（論文作成・講演発表）の費用として使用予定である。
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