| 研究実績の概要 |
あるコードダイアグラム E から出発し，弦の展開操作を次々と繰り返すことにより，E を根とし，展開途中の各コードダイアグラムを頂点とする２分木が生成される．このとき，２分木の葉として現れる非交差コードダイアグラム全体の重複集合は，展開途中における2-交差の選び方によらずE のみで決まる. この重複集合をNCD(E)と書く．また，重複集合としてのNCD(E) の位数f(E)をE の展開数と呼び，f(E)と書く．本研究の目的は，NCD(E)の様子を知ることであるが，ここでトレミー重みを導入する．各弦e に対して，重みw(e)が与えられているとする．円周上にこの順に並んでいる任意の4 点a, b, c, d について，トレミー関係式 w(ac)w(bd) = w(ab)w(cd) + w(ad)w(bc) が成り立つならば，w をトレミー重みと呼ぶ．本研究では，トレミー重みを利用してNCD(E)を研究し，次の結果が得られた．
1. 展開の単射性：与えられたコードダイアグラムE に対して，E から展開される非交差コードダイアグラムの重複集合NCD(E)は一意に定まるが，この対応は単射である．
2. m(E,Nn)とある均衡2部グラフの完全マッチングの個数との対応：一般のコードダイアグラムE に対して m(E,Nn)は，対応する均衡2部グラフの完全マッチングの個数と等しい．ここでNnはn-ネックレスと呼ばれるコードダイアグラムである．
3. m(E,F)と三角形分割に付随するトレミー重みとの関係：T は三角形分割とし，wT をT に付随するトレミー重みとする．コードダイアグラムE と非交差コードダイアグラムF について，F⊂E(T)ならば，m(E,F)はローラン多項式wT(E)に含まれる単項式wT(F)の係数に一致する．
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