| 研究課題/領域番号 |
19K03610
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| 研究機関 | 茨城工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
弘畑 和秀 茨城工業高等専門学校, 国際創造工学科, 教授 (30321392)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 離散数学 / グラフ理論 / 閉路 / 弦 / 弦付き閉路 / 点素な閉路 / 最小次数和 / 全閉路的グラフ |
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| 研究実績の概要 |
グラフの閉路上にある非連続な2頂点を結ぶ辺を「弦」といい、弦をもつ閉路を「弦付き閉路」という。令和2年度は、指定要素を含む弦付き全閉路的グラフに関する研究を行った。ここで、グラフGの頂点数をnとする。「全閉路的グラフ」とは、3以上n以下の各整数値を長さとする閉路をもつグラフのことであり、この全閉路的グラフで考えた各閉路が弦をもつグラフを「弦付き全閉路的グラフ」という。1971年、Bondyは「グラフGの非隣接2頂点の最小次数和がn以上(Ore Condition)を満たすグラフは、二つの部集合の頂点数がそれぞれn/2 (nは偶数)である完全2部グラフを除いて、全閉路的グラフである」という結果を証明した。これはBondyの超予想である「グラフがハミルトン閉路を持つためのほとんどの十分条件は、いくつかの例外を除き、グラフが全閉路的グラフとなるための十分条件にもなる」を補完する結果である。2017 年、Cream・Gould・Hirohataは、Bondyの結果を弦付き全閉路的グラフに拡張し、完全2部グラフ以外にも例外となるグラフが存在することを証明した。本研究においては、これらの結果の更なる拡張を目指し、次数条件の観点から、どのようなグラフが指定要素を含む弦付き全閉路的グラフとなり、どのようなグラフがその例外となるのかについて研究を行った。具体的には、指定要素として「頂点」を考え、次数条件を満たすグラフは弦付き全閉路的グラフであるか、そうでなければ、完全2部グラフを含むグラフの族、及びその他２つのグラフの族に分類されることがわかった。先行研究の次数条件を維持したまま指定要素を含む閉路を考えることにより、グラフの構造をさらに深く理解することができる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和２年度は次数条件の観点から、指定要素を含む弦付き全閉路的グラフに関する研究を行った。本研究においては、指定要素として「頂点」を考え、次数条件を満たすグラフの弦付き全閉路性について研究を行った。本研究の主要なところを説明すると次の通りである。閉路を構成している辺の数は、閉路の「長さ」とよばれる。ここで、グラフGの頂点数をnとする。グラフが弦付き全閉路的であることを証明するために、4以上n以下のすべての長さをもつ弦付き閉路が存在することを証明しなければならない。このとき、長さの短い弦付き閉路の存在を証明することが容易ではない。そのため、以下のようなグラフの頂点分割を考える。ここで、任意に指定するGの頂点をxとする。頂点xに非隣接な頂点(例えばyとする)を考え、xとyを除くGの頂点集合を、x及びyとの隣接関係からいくつかに分類し、これらの各頂点集合で構成されるグラフの構造やそれらのグラフ間の構造を解析する。x及びy以外のどの頂点も上記のどれかの頂点集合に属しており、本証明はグラフの構造を理解しやすく、次数条件は満たすが弦付き全閉路的グラフではない例外のグラフを見つけやすくなっている。以上の理由により、現在までの進捗状況を上記のように判断した。
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| 今後の研究の推進方策 |
二つのグラフがどの頂点も共有しないとき、それらのグラフは「点素」であるという。令和3年度は、グラフにおける指定要素を通る点素な閉路に関する研究を行う。近年では点素な閉路の存在に関して、さまざまな方向に発展させた問題が考えられている。ここで、kを1以上の整数とし、どの二つの頂点も隣接していない頂点の集合である「独立頂点集合」を考える。本研究においては、グラフが指定要素を通るk個の点素な閉路をもつための独立頂点集合が満たすべき次数条件について考える。先行研究においては、次数条件のもとで、任意に指定した頂点や辺を通る点素な閉路に関する結果が証明されている。また、それらの結果の中には、指定要素を通る点素な閉路の存在性を示しただけでなく、それらがすべての頂点を通るグラフの分割にまで発展させているものもある。本研究では特定のグラフに注目し、指定要素を通る点素な閉路が存在するための次数条件について研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
学会参加及び調査・研究のための出張を予定していたが、新型コロナウイルスの影響により、出張を取り止めたため、残金が生じた。この残金は学会参加、調査研究、物品等に使用したいと考えている。
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