| 研究課題/領域番号 |
19K03611
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| 研究機関 | 富山大学 |
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研究代表者 |
秋山 正和 富山大学, 学術研究部理学系, 准教授 (10583908)
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| 研究期間 (年度) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 細胞の多面体モデル / Vertex Dynamics Model / 数値計算 / 形作り |
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| 研究実績の概要 |
形態形成の問題は細胞が最小単位となり構成されている場合が多い．このため，細胞一つ一つの動態を考慮にいれつつ，組織全体の形作りを考えることが重要となる．また，形態形成は大抵の場合，複雑現象であり，実験的なアプローチだけでなく，数理的なアプローチも駆使して迫る必要もあるだろう．このような背景のもと，形態形成を細胞単位で数理的に扱うことができるような方法がいくつか開発されている．
本研究課題では，この方法論のうち，Vertex Dynamics Model(VDM)と呼ばれる方法に関して，そのアルゴリズムや数値的な計算法に関して数学的な観点から迫ろうとしている．VDMでは，エネルギー汎関数とその最小化法が肝要であるが，本年度までの研究により，最小化の手続きに関してはほぼ全体像が見えてきた．VDMでよく用いられるエネルギー項として，細胞の体積保存項や，周長保存項がある．どちらも，細胞を構成する頂点に対して摂動を与えること(以降頂点微分と呼ぶ)で，Gradientを厳密に計算することができるが，計算が比較的複雑となるため，敬遠されがちであった．実際，多くの論文では，エネルギー最小化は数値的にGradient方向Uを算出し，-Uの方向へ微小時間dt分だけ，変化させる方法が取られているが，dtを大きく取れないことなどが問題である．そこで，本研究課題では，頂点微分を計算するための公式群を用意し，その公式群を使用することで，Gradient方向U を求めている．さらに，それをC++言語で実装することで，誰でも手軽に数値計算を行うことができるように整えた．公式を用いることで，頂点微分が美しい形で表現されたため，幾何学的意味を見つけることもできた．
また，単に理論的な研究だけでなく，現実の系（ショウジョウバエ複眼の形態形成）に対してもVDMを用いて計算を行うこともでき，2022年度では，雑誌DEVELOPMENTに論文が受理された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
Covid-19の影響もあり，研究全体の進度に若干の遅れがでているが，上述のように，エネルギー汎関数の頂点微分に関する計算方法は，ほぼ確立できたため，説明を割愛する．
VDMでは，多数の細胞が登場するが，Cellインターカレーションが生じる条件の場合，頂点間の距離が短くなることから，しばしば繋ぎ替えを行うことで，頂点の衝突を防ぐ方法が取られている．この際「ある時点で，ある長さに達したら，強制的に繋ぎ替える」という方法がよく使われているが，この方法の妥当性に関して研究を行った．本来，VDMは，エネルギー汎関数を最小化しつつ細胞群の動態を計算するものであるが，このような繋ぎ替えイベントでは，数値積分のルーチンから一旦離れ，離散的なステップを陽に入れることになる．このとき，エネルギーがイベント前後できちんと減っているのか？いう問が残されている．また，「ある時点で，ある長さに達したら，強制的に繋ぎ替える」という方法は，その次の計算ステップで，再度この繋ぎ替え条件が成立する可能性もあり，細胞動態を正しくシミュレートしているとは言い難い．このようなことから，現行の細胞の繋ぎ替え方法で，どのようなケースで問題が生じ，逆にどのようなケースでは問題が生じないのかを考察した．その結果，細胞数が4の場合，かつよく用いられるVDMのエネルギー項を使用した場合では，条件によって繋ぎ替え前後でエネルギーが減っていない状況を作り出すことできた．このことから，やはり繋ぎ替えは慎重に行うべきイベントであることが示唆された． 一般的なケースで，どのような繋ぎ替えであれば安全なのかに関しては依然として不明であるが，少なくとも細胞インターカレーション前後では，エネルギーが小さくなっていることを確認することが肝要であることが確認された．
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| 今後の研究の推進方策 |
3Dでは，一つの細胞は複数の頂点で表現されるが，頂点のみの情報では，細胞の境界(細胞膜)を決定することができない．これは一見すると，細胞境界付近の3つ以上の頂点から平面を構成すればよいとも考えるかもしれないが，4つ以上の場合，これらすべてを通る平面が存在しない場合もある．そこで，頂点の情報だけではなく，その細胞がどのような四面体で分割(ここで分割とは，頂点-辺-面を除いて共通部分を持たず，すべての四面体の和集合がもとの細胞と一致するような分割のこと)されているかにも注意する必要がある．ところが分割の仕方は一通りではないため，その分割方法によって，頂点微分の計算方法は変わってしまうことがわかった．このようなことから，3Dにおいて，細胞を多面体として表現する時点で，注意が必要なこともわかった．そこで，この問題を解決すべく，次のような方法を考案した．
一つの細胞を６角柱として表現し，12個の頂点を用いる．この細胞を平面的に3D空間内に敷き詰めた場合，少なくとも細胞シート形状，管形状，球状形状，トーラス形状の4つの組織を作ることができる．６角柱の側面は4つの頂点，上下面は6つの頂点で構成されるが，4つの頂点の重心と，上下面の6つの頂点の重心を用いることで，細胞を一意的に四面体分割することができる．この四面体分割は，ある細胞からみたときの細胞膜と，その細胞に隣接する細胞からみたときの細胞膜は必ず一致する．したがって，組織全体で，細胞同士は細胞膜のみで接することになる．このような工夫をすることで，Vertex Modelの計算を矛盾なく進めることができた．なお，このMethodを用いて，ショウジョウバエ腸管の形態形成シミュレーションを行い，2021年度数学会秋季総合分科会の応用数学分科会において，特別講演(招待講演)を行った．一方で，これで全てのケースを網羅できたわけではないので，最終年にさらに考察を行う予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
Covid-19のため，予定していた出張用務が延期され余剰金が発生したが，本年度に旅費等として使用する計画である.
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